Permanenza del segno

[SharpEdges]

Ciao a tutti, innanzitutto spero di aver scelto la categoria esatta
Ho un dubbio su una dimostrazione ovvero che: $ lim_(n -> ∞ )a_n=a => EE nu :a-xi EE nu :-a-xi > - a_n> - a+xi =>
-a_n=-a>0 EE nu :a-xi EE nu :-a-xi > - a_n> - a+xi => xi=-a/2>0 => -a_n> -a -a/2 => -a_n> - 3/2a => a_n<3/2a $
In pratica ho posto $ xi=a/2 $ ma sapendo che a<0 ho effettuato appunto l'opposto $ xi=-a/2 $ .
Cosa ne dite? Io ho la lieve impressione che io abbia fatto una confusione abnorme, aspetto vostre risposte

[Weierstress]

Personalmente non capisco un tubo. Cosa vuoi dimostrare?

[SharpEdges]

Immaginavo , voglio dimostrare che se il $ lim_(n ->∞) a_n=a<0 => EEnu :a_n<0 AAn>nu $ , e che quindi da un certo punto in poi la successione avrà lo stesso segno del limite

[Weierstress]

Guarda che è semplice. Te lo faccio per successioni reali con limite positivo: se la successione $x_n$ converge a $p>0$, basta prendere $epsilon$ tale che $p-epsilon>0$. Per la definizione di convergenza definitivamente $0

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[SharpEdges]

Innazitutto ti ringrazio per la pazienza .
Il problema però lo trovo nella dimostrazione del limite negativo a<0. Infatti per il limite positio procedo in questo modo: $ a_n=a <0=>AAxi>0 EEnu:a-xi 0=>xi=a/2>0=>EEnu:a_n>a-a/2=a/2 $ dal momento che a/2>0 anche an>0 e dunque è dimostrato.
Il problema, come detto precedentemente lo trovo nella dimostrazione del negativo, avevo pensato, come scritto inizialmente di considerare gli opposti ossia: $ (-a_n)=(-a) $ e di procedere in moro analogo alla dimostrazione del positivo.

[Weierstress]

Frena un attimo. $a_n=a$ è una scrittura senza senso. Perché poi $xi>0$ implicherebbe $xi=a/2$? E perché questo implica l'esistenza di $nu$ ( ma aspetta, mica esisteva già $nu$ prima) con quelle proprietà? Fossi in te mi sforzerei di essere più chiaro.

Dimostrare la versione negativa è del tutto analogo a quello che ho fatto sopra. Se $x_nrarrp<0$, allora fissato $epsilon>0$ tale che $p+epsilon<0$ si ha definitivamente, per la convergenza di $x_n$, $p-epsilon
Tutto qui. Con questi $nu$ e $xi$ mi sembra che ti stia complicando non poco la vita.

[SharpEdges]

In effetti è tutto un pò confusionario, con $ a_n=a $ intendo $ lim_(n -> oo ) a_n=a $ , ad ogni modo, definisco $ xi=a/2 $ perchè deve essere >0. Svolgendo un pò di calcoli, ottengo alla fine (nella dimostrazione del limite positivo) che $ a_n>a/2 $ e ciò, dal momento che a/2 è una quantità >0 conferma la definizione (Se $ lim_(n -> oo ) a_n=a>0=>EEnu:a_n>0AAn>nu $ )
Con $ nu $ intendo che la successione rispetterà la proprietà definitivamente, da quell'indice in poi.