Periodo fondamentale e metodo del minimo comune multipo

[simox2]

Volendo calcolare il periodo fondamentale della funzione:

\(\displaystyle 4\cos(\pi t)\sin \left ({\pi t \over 7}\right) + 1 \)

con il metodo del minimo comune multiplo si ottiene che:

\(\displaystyle
\begin{aligned}
& T_1 = {2}\ \text s\\
& T_2 = {2 \pi \over {\pi \over 7}} = 14\ \text s\\
& \mathrm {mcm}(2,14) = 14
\end{aligned}
\)

Però, rappresentando la funzione si vede che il periodo è 7, e non 14.

Io per il momento sono convinto che il periodo fondamentale è 7. Il professore no, dice che è 14.
Ma se chiedo una spiegazione matematica del perché non è 7 ... non ottengo nessuna risposta.
Allora mi viene un dubbio: è sempre valido il metodo del minimo comune multiplo, si o no ?
Dove sbaglio ?

Ringrazio in anticipo.

[donald_zeka]

Non è vero che il periodo minimo è il minimo comune multiplo...basta pensare a $tanx=sinx/cosx$, $sinx$ e $cosx$ hanno periodo minimo $2pi$, ma $tanx$ ha periodo minimo $pi$. Il periodo minimo è il minimo comune multiplo quando c'è una somma di funzioni, non un prodotto. Il periodo minimo di quella tua funzione è $7$, e il tuo professore sbaglia.

[simox2]

Ciao Vulplasir grazie per la risposta.

"Vulplasir":Il periodo minimo è il minimo comune multiplo quando c'è una somma di funzioni

Mi rattrista pensare che mi vengano insegnate cose sbagliate.

Allora ti chiedo molto gentilmente: quale è il metodo per determinare il periodo di un prodotto di funzioni, se c'è, a parte quello di determinarlo attraverso gli esponenziali complessi (che da proprio 7) ?

Di nuovo grazie.

PS: gli ho fatto notare quello che mi hai giustamente scritto.

[donald_zeka]

Guarda, probabilmente ne so meno di te a riguardo , ma non esistono in generale dei criteri semplici per determinare il periodo di somma e prodotti di funzioni, e anzi, quello che ti ho detto prima non è sempre vero, infatti non è vero sempre che il periodo di una somma di funzioni è il loro mcm, o almeno non è vero in generale, ci sono molti controesempi. Anche il criterio del mcm sui prodotti di funzioni, non è vero in generale, perché non tiene conto delle particolarità delle funzioni che vengono moltiplicate tra loro, magari se al posto di seno e coseno ci fossero state due altre funzioni allora il loro periodo minimo probabilmente sarebbe stato $14$, ma nel nostro caso il seno e il coseno hanno la particolarità che $sin(y+T_1/2)=-siny$ e $cos(z+T_2/2)=-cosz$, (cioè il seno e il coseno cambiano segno ogni mezzo periodo) pertanto per esempio se $T_1=14$ e $T_2=2$, allora $sin(y+14/2)=sin(y+7)=-siny$ e $cos(z+2/2)=cos(z+1)=cos(z+7)=-cosz$, da cui $sinycosz=sin(y+7)cos(z+7)=(-siny)(-cosz)=sinycosz$, da cui il periodo $7$. Insomma questi criteri vanno presi un po' con le pinze

[donald_zeka]

Mi rattrista pensare che mi vengano insegnate cose sbagliate.

Diciamo che sono cose sbagliate se ti sono state insegnate come "questo metodo è sempre vero e funziona in ogni caso", ma se ti sono state insegnate come "nella maggior parte dei casi questo metodo è vero e funziona, ma esistono molte eccezioni" allora non sono sbagliate, dipende da come ti sono state insegnate.

[simox2]

Il fatto è che mi è stato insegnato come metodo generale.

Ma sono stato stupido io a non approfondire fin da subito la questione anche perché gli unici esempi che ho sempre trovato al di fuori degli appunti del professore sono con somma di sinusoidi.

Ti ringrazio ancora per la gentilezza.

A presto.

[@melia]

Se si tratta di una somma il metodo del mcm vale sempre, negli altri casi potrebbe essere un sottomultiplo del mcm, comunque, quando non è semplice calcolare la periodicità, usando il mcm sei sicuro di avere l'onda completa un numero intero di volte.

Mi hanno fatto osservare che devo chiarire quanto scritto:
Se si tratta di una somma con addendi di primo grado il metodo del mcm vale sempre.