Periodo di questa funzione?

[ea2]

ciao la funzione tan(sinx) è periodica? se si il periodo qual' è? grazie mille

[dissonance]

Per $x\inRR$, $sin x\in[-1,1]\sub[-\pi/2,\pi/2]$. Risolviamo $tan(sin (x+p))=tan( sin x)$: per l'osservazione di prima, questo è vero se e solo se $sin(x+p)=sin(x)$. Quindi la funzione è periodica e il periodo è lo stesso di quello di $sin$ ($2\pi$).

[dissonance]

Provo a disegnare un grafico (vediamo se ho capito come si fa ):

(edit):[vedi sotto]

olè! Peccato che non riesca a scalare gli assi!

[Fioravante Patrone1]

"dissonance":Per $x\inRR$, $sin x\in[-1,1]\sub[-\pi/2,\pi/2]$. Risolviamo $tan(sin (x+p))=tan( sin x)$: per l'osservazione di prima, questo è vero se e solo se $sin(x+p)=sin(x)$. Quindi la funzione è periodica e il periodo è lo stesso di quello di $sin$ ($2\pi$).

Attenzione a correre troppo.
Sennò, ancor prima di disegnare grafici, si rischia di andare a sbattere

Se ho $f \circ g$, e se $g$ è periodica di periodo $T$, allora ovviamente anche $f \circ g$ è periodica di periodo $T$. Infatti, per ogni $x$ "appropriato" si avrà:
$(f \circ g)(x+T) = f(g(x+T)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$.

Nulla vieta però che l'uguaglianza non possa essere valida anche per altri valori di $T$ (volendo esagerare, si può pensare al caso in cui $f$ sia identicamente nulla...).

Ovviamente queste considerazioni si riflettono anche sul "periodo minimo" di una funzione, cui di solito ci si riferisce quando si cerca il periodo di una funzione. Non si può escludere che, se $T$ è il periodo minimo di $g$, il periodo minimo di $f \circ g$ non possa essere inferiore.

Quindi, vale il "se" ma non il "solo se", in generale.

[dissonance]

evviva! questa è un'ottima scusa per disegnare grafici a raffica!
Allora: $tan(sin x))$ è periodica di periodo $2pi$, ma non vale uscirsene con due paroline come ho fatto prima.
Primo grafico:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1.5; ymax=1.5;
axes("label", "grid");
stroke="red";
plot("tan(x)");
text([0.5,1.2],"y=tan x", below);
stroke="black";
plot("x");
text([1,0.8],"y=x",below);[/asvg]
Quindi in $[-1,1]$, $tan$ e la funzione identica sono qualitativamente molto simili.

Intuitivamente saranno "molto simili" pure $tan\circ sin$ e $\text{id}\circ sin=sin$ (e su tutto $RR$); nello specifico, l'equazione $tan(sin(x+T))=tan(sin\ x)$ è equivalente a $sin(x+T)=sin(x)$ per qualsiasi $x$ reale. E' chiaro allora che i periodi delle funzioni $\tan\circ\sin$, $\sin$ sono gli stessi (per definizione, il periodo è la più piccola, in val.assoluto, delle soluzioni delle equazioni di prima). Ciliegina sulla torta...il grafico finale, che cancello dal messaggio di prima e metto qua:
(in rosso $y=tan(sin\ x))$, in nero $y=sin\ x$)
[asvg]xmin=-6.28; xmax=6.28;ymin=-1.5;ymax=1.5;
axes(3.14, 0.5,"label");
stroke="red";
plot("tan(sin(x))");
stroke="black";
plot("sin(x)");[/asvg]
era prevedibile, visto il grafico di $y=tan(x)$ contro $y=x$.

Conclusione: probabilmente a ea2 non importa più nulla di questa storia, però io sono contento come un bambino col giocattolo nuovo! ciao!

[Fioravante Patrone1]

Io sono come il mio cane. Una volta che azzanna qualcuno non lo molla più.(*)

Visto che sei serio, sai benissimo che Intuitivamente saranno "molto simili" non ti srebbe data per buona a un esame

Se hai voglia, smettila di giocare con i grafici e prova a ricavare in questo caso un "solo se" fatto per benino.
Ciao




[size=75](*) Proposizione verissima. Non ha mai azzannato nessuno [/size]

[dissonance]

"Fioravante Patrone":
Se hai voglia, smettila di giocare con i grafici e prova a ricavare in questo caso un "solo se" fatto per benino.

beh sì... ma sai... il caldo...

Consideriamo $f:A\toB, g:B\toC, T>0$, con $f$ $T$-periodica, $g$ invertibile. Allora $g\circf$ è $T$-periodica.

Dim.: E' chiaro che $g(f(x+T))=g(f(x))$, $\forall x\inA$.
Ma $T$ è proprio il minimo tra tutti i reali (strett.) positivi che verificano questo fatto: se ci fosse un $T'$, $0
Se prendiamo $f:=sin:\RR\to[-1,1], g:=tan:[-1,1]\to[-\alpha,\alpha]$, vediamo che $f$ è $2pi$-periodica, $g$ è invertibile e quindi $g\circf=tan\circsin$ è $2pi$-periodica.

e speriamo di non aver sbagliato! Altrimenti mi sa che...

P.S: Che bello, mi hai fatto rendere conto che anche io posso dire :"attento, guarda che il mio cane quando azzanna qualcuno non lo molla più!" senza mentire. Infatti anche il mio cane non ha mai azzannato nessuno!

[Fioravante Patrone1]

Direi che ci siamo.
E comunque l'idea è buona, che forse è la cosa più importante.


PS: e pensare che preferisco i gatti...