Periodicità funzione limite uniforme

[thedarkhero]

Siano $f,f_n:RR->RR$ funzioni, $n\inNN$, tali che:
i) $f_n$ è continua su $RR$ ed è periodica di periodo $T_n>0$, ovvero $f_n(x+T_n)=f_n(x)$ $AAx\inRR$;
ii) $"sup"_(n\inNN)T_n iii) $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente a f.
Provare che $f$ è periodica.

Dimostrazione:
So che $f$ è continua su $RR$ perchè limite uniforme di una successione di funzioni continue.
La successione $(T_n)_(n\inNN)$ è limitata per ipotesi ($0 Essendo $T_(n_k)$ il periodo della funzione $f_(n_k)$ ho che $f_(n_k)(x+T_(n_k))=f_(n_k)(x)$ $AAx\inRR$.
Siccome la convergenza uniforme implica quella puntuale ho $\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x)=f(x)$ $AAx\inRR$.
Vale inoltre $\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+T_(n_k))=f(x+T)$.
Infatti, se fisso $epsilon>0$, per la convergenza uniforme ho che $EE\bark\inNN$ tale che $AAk>=\bark$ vale $|f_(n_k)(x)-f(x)| Essendo $f$ continua in $x+T$ $EEdelta>0$ tale che $|f(x+T_(n_k)-f(x+T)| Posso stimare $|f_(n_k)(x+T_(n_k))-f(x+T)|=|f_(n_k)(x+T_(n_k))-f(x+T_(n_k))+f(x+T_(n_k))-f(x+T)|<=|f_(n_k)(x+T_(n_k))-f(x+T_(n_k))|+|f(x+T_(n_k))-f(x+T)| Ho mostrato cioè che $\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+T_(n_k))=f(x+T)$.
Allora ho che $f(x+T)=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+T_(n_k))=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x)=f(x)$ $AAx\inRR$.

Se $T>0$ allora ho mostrato che $f$ è periodica di periodo $T$.
Ma se fosse $T=0$?

Intuitivamente mi verrebbe da pensare che nel caso $T=0$ si abbia che $f$ è una funzione costante.

Esempio: $f_n(x)=cos(nx)/n$.
Il periodo di $f_n$ è $T_n=2pi/n>0$ e $\lim_{n \to \infty}T_n=0$.
$"sup"_(n\inNN)T_n Il limite puntuale è la funzione costante $f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}cos(nx)/n=0$ e la convergenza è uniforme perchè $\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\inRR)|cos(nx)/n-0|=\lim_{n \to \infty}1/n=0$.

Ho semplicemente beccato un caso particolare oppure in generale il fatto che $T=0$ comporta che $f$ sia costante?

[thedarkhero]

up

[Rigel1]

Direi che quanto hai scritto va bene.
Riguardo alla tua domanda, se \(f\) è una funzione continua, e \(\inf\{T>0:\ f\ \text{è}\ T\text{-periodica}\} = 0\), allora \(f\) è costante.
(In generale non ha senso parlare di funzioni \(0\)-periodiche; il periodo è sempre un numero positivo.)
Nel caso in questione, se \(T_{n_k}\to 0\) si può dimostrare che \(f\) è costante. (Puoi provare a fare la dim. per assurdo, assumendo che ci siano due punti \(x\) e \(y\) tali che \(f(x) \neq f(y)\); la differenza \(y-x\) si approssima bene a piacere, per \(k\to +\infty\), con un numero intero di periodi \(T_{n_k}\).)

[thedarkhero]

Non mi è chiarissimo...

"Rigel":
Nel caso in questione, se \(T_{n_k}\to 0\) si può dimostrare che \(f\) è costante. (Puoi provare a fare la dim. per assurdo, assumendo che ci siano due punti \(x\) e \(y\) tali che \(f(x) \neq f(y)\); la differenza \(y-x\) si approssima bene a piacere, per \(k\to +\infty\), con un numero intero di periodi \(T_{n_k}\).)

Da quanto ho capito mi stai suggerendo di prendere $y=x+mT_(n_k)$ con $m\inNN$, giusto?
Ma in questo modo il punto $y$ dipenderebbe da $k$...qualcosa non mi è chiaro.

[Rigel1]

"thedarkhero":Da quanto ho capito mi stai suggerendo di prendere $y=x+mT_(n_k)$ con $m\inNN$, giusto?
Ma in questo modo il punto $y$ dipenderebbe da $k$...qualcosa non mi è chiaro.

Ti sto consigliando di prendere \(y_k = x + m_k T_{n_k}\), con \(m_k\in\mathbb{Z}\) scelto in modo tale che \(y_k\to y\); puoi ad esempio prendere la parte intera di \((y-x)/T_{n_k}\). La convergenza di \(y_k\) a \(y\) segue dal fatto che, con tale scelta, \(|y_k - y| \leq T_{n_k}\to 0\).

[thedarkhero]

Vediamo se ho capito...
Prendo $x!=y$ arbitrari in $RR$ e definisco la successione $m_k=[(y-x)/T_(n_k)]$ dove $

$ indica la funzione "parte intera".

Definisco ora la successione $y_k=x+m_kT_(n_k)$ ed ho che $\lim_{k \to \infty}y_k=y$.
Allora
$f(y)=\lim_{k \to \infty}f(y_k)$ per la continuità di $f$
$\lim_{k \to \infty}f(y_k)=\lim_{k \to \infty}f(x+m_kT_(n_k))$
$\lim_{k \to \infty}f(x+m_kT_(n_k))=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+m_kT_(n_k))$ per la convergenza puntuale di $f_(n_k)$ a $f$
$\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+m_kT_(n_k))=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x)$ per la $T_(n_k)$-periodicità di $f_(n_k)$
$\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x)=f(x)$ per la convergenza puntuale di $f_(n_k)$ a $f$
Dunque $f(y)=f(x)$ e per l'arbitrarietà di $x$ e $y$ ho mostrato che $f$ è costante.
Dico bene?

[Rigel1]

"thedarkhero":$\lim_{k \to \infty}f(x+m_kT_(n_k))=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+m_kT_(n_k))$ per la convergenza puntuale di $f_(n_k)$ a $f$

Per la convergenza uniforme (quella puntuale in generale non basta in questo caso).

[theras]

@Rigel.
Per dimostrarlo avevo sostanzialmente osservato intanto che,comunque si fissino $x,y inRR,k inNN$,si ha
$0<=|f(x)-f(y)|<=|f_(n_k)(x)-f(x)|+|f_(n_k)(y)-f(y)|+|f_(n_k)(x)-f_(n_k)(y)|<=2"sup"_(z inRR)|f_(n_k)(z)-f(z)|+"sup"_(z inRR)f_(n_k)(z)-"inf"_(z inRR)f_(n_k)(z)=$
$=2"sup"_(z in[0,T_(n_k)])|f_(n_k)(z)-f(z)|+"max"_(z in[0,T_(n_k)])f_(n_k)(z)-"min"_(z in[0,T_(n_k)])f_(n_k)(z)$
(l'ultima uguaglianza,oltre che ovviamente col Teorema di Weierstrass,la si giustifica agevolmente notando,
proprio grazie a quanto da te suggerito al nostro giovane eroe,
come $AAz inRR$ $EEm_k inZZ,z_k in[0,T_(n_k)]" t.c "z=z_k+m_kT_(n_k)$);
detti allora $x_k,y_k$ due elementi di $[0,T_(n_k)]" t.c. "f_(n_k)(x_k)="max"_(z in[0,T_(n_k)])f_(n_k)(z),f_(n_k)(y_k)="min"_(z in[0,T_(n_k)])f_(n_k)(z)$,
dalla disuguaglianza precedente ne desumiamo che
$0<=|f(x)-f(y)|<=2"sup"_(z in[0,T_(n_k)])|f_(n_k)(z)-f(z)|+f_(n_k)(x_k)-f_(n_k)(y_k)<=2"sup"_(z in[0,T_(n_k)])|f_(n_k)(z)-f(z)|+|f_(n_k)(x_k)-f_(n_k)(y_k)|<=..<=$
$<=4"sup"_(z in[0,T_(n_k)])|f_(n_k)(z)-f(z)|+|f(x_k)-f(y_k)$:
la tesi era dunque conseguenza,passando al limite per $kto oo$ i primi due membri e l'ultimo della precedente catena di disuguaglianze
(come legittima il fatto che $k$ è fissato a piacere in $NN$..),
dell'arbitrarietà di $x,y$,del teorema dei due carabinieri,
dell'uniforme convergenza ad $f$ della successione di funzioni considerata(e dunque d'una sua estratta..),
della continuità di $f$,d'un teorema ponte tra limiti di funzioni continue e successioni e,infine,del fatto che
$0<=x_k,y_k<=T_(n_K)$ $AAk inNN,EElim_(k to oo)T_(n_k)=0rArrEElim_(k to oo)x_k=lim_(k to oo)y_k=0$..
Poi,naturalmente,sei arrivato tu mentre stavo per postare la risposta,
ed hai sintetizzato i miei sforzi in quattro parole ben mirate
(a volte ti strozzerei ,se non ammirassi troppo la tua capacità,tra le tante,
di leggere subito il "quid" che manca all'interlocutore per arrivare da solo alle conclusioni,
da te mostrata ancora una volta col nostro ottimo eroe scuro,che c'ha poi messo del suo non deludendo di certo..);
rileggendo però la tua ultima risposta ho notato che ho fatto bene a salvare la mia dimostrazione,
perchè mi par d'intravedere che,riadattandola coi dovuti accorgimenti e ricordando il Teorema di Ascoli-Arzelà,
sia idonea a dimostrare che la tesi valga anche in caso di convergenza "solo" puntuale della successione di funzioni assegnata,
a patto d'aggiungere l'equicontinuità di tutti i suoi termini e la sua uniforme limitatezza:
mi sbaglio?
Se ho ragione vedi,tanto per cambiare,un modo per verificare più linearmente quanto a quel punto avrei dimostrato?
A quest'ultima spero,se avrai ragione di continuare la lettura del mio papello fino a questo punto,tu risponda di no:
la corda,in caso contrario,sarebbe pronta,ed ha i rinforzi in titanio !
@Thedarkhero.
Provi,per completezza,
a portare un esempio che faccia capire quanto è fondamentale l'ipotesi di limitatezza della successione dei periodi?
Saluti dal web.

[Rigel1]

@theras:
devo dire che, in effetti, ho difficoltà a leggere fino in fondo i tuoi interventi, ma penso che ciò dipenda dalla mia ormai scarsa capacità di concentrazione, che mi rende difficile leggere un post per più di 30 secondi.
In questo caso sono però arrivato fino alla fine
Riguardo alla tua domanda, se richiedi equicontinuità ed equilimitatezza (su un compatto) della successione di funzioni, è chiaro che basta la sola richiesta di convergenza puntuale, poiché questa implica la convergenza uniforme (usando, appunto, il teorema di Ascoli-Arzelà).

[theras]

@Rigel.
Grazie dell'attenzione,allora !
Il punto,tornando al fatto tecnico,è che per come lo conosco io assicura "solo" l'uniforme convergenza d'una estratta di quella successione:
se puoi riflettici,che magari la questione si rivela interessante..
Saluti dal web.

[Rigel1]

Il punto è che qualsiasi sottosuccessione uniformemente convergente tu estragga, deve necessariamente convergere al limite puntuale. Di conseguenza l'intera successione converge uniformemente (al limite puntuale).

[theras]

O.K.,aspetto della questione che m'era sfuggito!
A questo punto aggiungere quelle ipotesi e riadattare la mia tecnica è meno conveniente di sistemare,
nel modo ovvio che quelle nuove ipotesi richiederebbero,la tua verifica:
dunque non mi resta che andare a prendere la corda !
Saluti dal web.

[thedarkhero]

"Rigel":[quote="thedarkhero"]$\lim_{k \to \infty}f(x+m_kT_(n_k))=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x+m_kT_(n_k))$ per la convergenza puntuale di $f_(n_k)$ a $f$

Per la convergenza uniforme (quella puntuale in generale non basta in questo caso).[/quote]
Vediamo se mi è chiaro il perchè...
Basterebbe la convergenza puntuale se fosse $\lim_{k \to \infty}f(x)=\lim_{k \to \infty}f_(n_k)(x)$ con $x$ fissato, invece in questo caso ho come argomento delle $f$ una quantità dipendente da $k$...è questo il problema? Se si, in che modo la convergenza uniforme lo risolve?

[Rigel1]

Dovresti aver visto un teorema sullo scambio dei limiti sotto l'ipotesi di convergenza uniforme (che non vale nella sola ipotesi di convergenza puntuale).

[thedarkhero]

Confermo, ma in questo caso chi sono i due limiti da "scambiare"?

[Rigel1]

Hai ragione, il suggerimento è un po' nascosto.
Comunque, il riferimento era a questo risultato: se \(f_k \to f\) uniformemente e \(x_k\to x\), allora \(\lim_k f_k(x_k) = f(x)\).
Con la sola ipotesi di convergenza puntuale ciò non è vero, come puoi constatare considerando \(f_k(x) = x^k\) e \(x_k = 1 - 1/k\).

[thedarkhero]

Ah giusto, avrei fatto meglio a scrivere $\lim_{k \to \infty}\lim_{j \to \infty}f_(n_j)(x+m_kT_(n_k))$ in modo da notare subito che i limiti erano scambiabili

"theras":
@Thedarkhero.
Provi,per completezza,
a portare un esempio che faccia capire quanto è fondamentale l'ipotesi di limitatezza della successione dei periodi?

Ho provato a considerare la successione di funzioni definita da $f_n(x)=nsin(x/n)$.
$f_n$ è continua e periodica di periodo $T_n=2pin$ e $"sup"_(n\inNN)T_n=oo$.
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}nsin(x/n)=\lim_{n \to \infty}n*x/n=x$ $AAx\inRR$ (convergenza puntuale).
$"sup"_(x\inRR)||nsin(x/n)-x||_(oo)=\lim_{x \to \infty}|nsin(x/n)-x|=oo$ quindi manca la convergenza uniforme.

Ho provato anche con la successione $g_n(x)=sin(x/n)/n$.
$g_n$ è continua e periodica di periodo $T_n=2pin$ e $"sup"_(n\inNN)T_n=oo$.
$\lim_{n \to \infty}g_n(x)=\lim_{n \to \infty}sin(x/n)/n=0$ $AAx\inRR$ (convergenza puntuale).
$\lim_{n \to \infty}"sup"_(x\inRR)||sin(x/n)/n||_(oo)=\lim_{n \to \infty}1/n=0$ quindi si ha convergenza uniforme.
Tuttavia la funzione limite è costante, dunque non ho mostrato che l'ipotesi di cui parli è fondamentale.

Come posso costruire la successione di funzioni utile a mostrarlo? Sto continuando a pensare a successioni di funzioni trigonometriche perchè sono periodiche...

[theras]

@Thedarkhero.
Devo dire che forse ho compiuto un errore formativo;
ho infatti considerato più immediata di quanto poi non s'è rivelata la possibilità di portare un idoneo controesempio ,
ed ho iniziato a sondare il campo su successioni di funzioni simili a quelle da te proposte:
tutti buchi nell'acqua,sebbene di poco..
A salvare capre e cavoli ci voleva poco,ma certe volte non si riesce proprio a veder subito la luce dietro l'angolo;
a me l'ha accesa l'idea che somme,finite o meno,potessero aiutarmi,e non mi sbagliavo:
a quel punto m'è però venuto il dubbio che tu potessi non aver ragione d'aver abitudine con le serie di funzioni
(in realtà non serve affatto conoscerne la teoria in profondità,
anzi mi par bastino quelle sue prime definizioni intuibili da soli,
ma certo il farlo ti sarebbe stato d'aiuto ad intuire una potenziale via di fuga dall'empasse..)!
Ciancio alle bande,comunque,e veniamo al dunque:
prova con la ${f_n(x)=sum_(k=1)^(n)("sen"^2 x/(2^k))/(2^k):RR to RR}_(n inNN)$,
che nel caso,se avessi difficoltà a comprendere perchè è idonea a quanto vogliamo,ne riparliamo..
Saluti dal web.

[thedarkhero]

Si tratta di una successione di funzioni continue, periodiche di periodo $T_n=\sum_{k=1}^n 2^kpi$ (se non ho sbagliato i conti), $"sup"_(n\inNN)T_n=oo$ ed essendo $sin^2(x/2^k)/(2^k)<=(1/2)^k$ $AAk\inNN$ e $\sum_{k=1}^n (1/2)^k$ convergente si ha per il criterio di Weierstrass che $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente.
Ora, per sapere se $f$ è periodica dovrei prima capire chi è questa $f$, questo diventa più complicato...

A parte questo, non ci sono successioni definite senza sommatorie che mi consentano di "smontare" il teorema in caso di mancanza dell'ipotesi in discussione?

[theras]

Ti rispondo nell'ordine:
1)A me par che il minimo periodo di $f_n$ sia,$AAn inNN$,$T_n=2^n*pi$:
lo puoi dimostrare,o confutare,se vuoi,
ma solo per completezza perchè certo non cambia nulla sul fatto da te ben centrato che $"sup"_(n inNN)T_n=+oo$,
ovvero quello d'importanza davvero capitale nel nostro discorso..
2)Riguardo la convergenza puntuale,fissato a piacere $overline(x) inRR$,
si ha che $f(overline(x))=sum_(n=1)^(oo)1/(2^n)"sen"^2(overline(x))/(2^n))$,
per definizione di convergenza d'una serie numerica(quella di termine generale $f_n(overline(x))$..)e dato il carattere di $sum_(n=1)^oo 1/(2^n)"sen"^2(overline(x))/(2^n)$
(determinabile ad esempio col criterio del confronto,sulle serie numeriche,
tirando in ballo la serie geometrica di ragione $1/2$ decurtata del suo primo addendo..):
l'arbitrarietà di $overline(x)$ fà capire che $f(x)=sum_(n=1)^(oo)1/(2^n)"sen"^2x/(2^n)$ $AAx inRR$ anche se,in effetti,
non dà una formulazione "standard" di tale limite puntuale(ostacolo comunque aggirabile ai nostri fini!)..
3)$0<=|f_n(x)-f(x)|=|f(x)-f_n(x)|$
(ciò perchè $f_n(x)<=sum_(k=1)^nf_k(x)$ $AAn inNN,AAx inRR" e "EElim_(n to oo)sum_(k=1)^nf_k(x)=f(x)rArrf_n(x)<=f(x)$ $AAx inRR$,
per un noto teorema di confronto relativo alle successioni numeriche..)
$=sum_(m=n+1)^(oo)1/(2^m)"sen"^2x/(2^m)<=sum_(m=n+1)^oo(1/2)^m=((1/2)^(n+1))/(1-1/2)$
(nota formula sulle serie geometriche decurtate,fissato $p inNN$,dei loro primi $p$ termini..)
$=(1/2)^n$ $AAx inRR,AAn inNNrArr0<="sup"_(x inRR)|f_n(x)-f(x)|<=(1/2)^n$ $AAn inNNrArrEElim_(n to oo)"sup"_(x inRR)|f_n(x)-f(x)|=0$
(per il teorema dei due carabinieri sulle successioni numeriche reali).
4)$f(0)=0$(immediato..),$f(x)>=f_n(x) $(già noto..)$>=(1/2)^n"sen"^2(x/(2^n))>0$ $AAn inNN,AAx in(0,2^npi)=I$
(gli addendi della $f_n(x)$ sono infatti tutti positivi in $I$..)
5)$f$ è pari(banale,dai..)
6)$f$ non è periodica,data la (4) e la (5):
perchè?
7)Io non ci son riuscito,
e dubito che sia immediato dimostrare o confutare che sia possibile trovare un tal controesempio esprimibile in termini non additivi;
mi ritiro da questa eventuale tenzone,per ora,che già oggi ho fatto più di quanto i miei vetusti neuroni possano reggere
(non in questa piacevole mezzora di stesura del post,sia chiaro ),
e non sono per nulla certo che sia alla mia portata trovar modo d'affrontarla in tempi ragionevoli:
è per me più saggio rimandare il provare a farlo a momenti per me meno impegnativi di questo,
benchè sia un peccato perchè ho la sensazione possano uscirne considerazioni davvero interessanti che,magari,
altri più competenti e sintetici di me troveranno modo d'aggiungere..
Saluti dal web.