Periodicità
Ciao a tutti, qualcuno sa spiegarmi analiticamente come si fa a dire che la funzione log|sen(2e^x)| non è periodica? Il grafico l'ho visto su wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=lo ... %5Ex%29%7C e ok, ma analiticamente come si spiega? |sen(2e^x)| oscilla tra 0 e 1 quindi il problema è su 2e^x immagino...
Risposte
"Usernamer":
quindi il problema è su 2e^x immagino...
Lo penso anche io
proviamo a immaginarci la nostra funzione e a tagliarla con delle rette parallele all'asse $y$ ed equidistanti tra loro, i punti intersezione tra la funzione e le rette avranno ascisse equidistanti tra loro, ma non sarà vero per le ordinate.
Affinché le ordinate siano equidistanti tra loro, facciamo $2pi$, è necessario che le rette siano via via più vicine.
ok ma la mia domanda è se ad esempio ho sen2x la periodicità è k $ Pi $ perchè se 2x = 2k $ Pi $ allora x = k $ Pi $, perché non è possibile analogamente un periodo da 2e^x=2k $ Pi $ che sia x = ln(k $ Pi $ )?
Usernamer: attento che il tuo ultimo messaggio è confusionario ed anche impreciso.
Una composizione di funzioni \(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\) è periodica solo se è periodica la funzione più interna della composizione (\(g\) in questo caso).
Questo è vero perché, se \(g\) ha periodo \(T\), allora
\[
h(x+T) = f(g(x+T)) = f(g(x)) = h(x)
\]
e puoi usare il fatto che \(g\) è periodica, perché è """a contatto diretto""" con la variabile indipendente.
Se fai la composizione nell'altro modo, \(\tilde h(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x))\), vedi che
\[
\tilde h(x+T) = g(f(x+T)) = ???
\]
e non puoi proseguire perché \(f\) non è periodica.
Una composizione di funzioni \(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\) è periodica solo se è periodica la funzione più interna della composizione (\(g\) in questo caso).
Questo è vero perché, se \(g\) ha periodo \(T\), allora
\[
h(x+T) = f(g(x+T)) = f(g(x)) = h(x)
\]
e puoi usare il fatto che \(g\) è periodica, perché è """a contatto diretto""" con la variabile indipendente.
Se fai la composizione nell'altro modo, \(\tilde h(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x))\), vedi che
\[
\tilde h(x+T) = g(f(x+T)) = ???
\]
e non puoi proseguire perché \(f\) non è periodica.
ma allora perchè ad esempio sen2x è periodica? non è la composizione della funzione seno e della funzione retta y=2x? La retta non è periodica però inserita nella funzione seno dà sen2x che è periodica, e 2x è la funzione più interna
"Raptorista":
Usernamer: attento che il tuo ultimo messaggio è confusionario ed anche impreciso.
Una composizione di funzioni \(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\) è periodica solo se è periodica la funzione più interna della composizione (\(g\) in questo caso).
Non direi "solo se", ma "se".
Avete ragione, sono stato impreciso nella risposta di prima. Grazie dissonance per la puntualizzazione.
Se la funzione dentro il seno è una retta \(ax + b\) allora non è altro che la combinazione di una scala e di una traslazione.
Quello che ne vien fuori è [\(T = 2 \pi\)]
\[
\sin(at + b)=\left\{ at = x \right\}=\sin(x + b) = \sin(x + b + T) = \sin(at + b + T) = \sin\left(a\left(t + \frac{T}{a}\right) + b \right).
\]
Se ci provi con l'esponenziale ottieni
\[
\sin(e^t)=\left\{ e^t = x \right\}=\sin(x) = \sin(x+T) = \sin\left(e^t + T \right) = ...
\]
e dovresti arrivare a qualcosa come \(\sin(e^{t+T'})\).
Il primo caso funziona perché le rette sono affini, il secondo non funziona perché l'esponenziale non è affine.
Scusate se non sono stato troppo preciso, è tardi ed ora vado a dormire
Se la funzione dentro il seno è una retta \(ax + b\) allora non è altro che la combinazione di una scala e di una traslazione.
Quello che ne vien fuori è [\(T = 2 \pi\)]
\[
\sin(at + b)=\left\{ at = x \right\}=\sin(x + b) = \sin(x + b + T) = \sin(at + b + T) = \sin\left(a\left(t + \frac{T}{a}\right) + b \right).
\]
Se ci provi con l'esponenziale ottieni
\[
\sin(e^t)=\left\{ e^t = x \right\}=\sin(x) = \sin(x+T) = \sin\left(e^t + T \right) = ...
\]
e dovresti arrivare a qualcosa come \(\sin(e^{t+T'})\).
Il primo caso funziona perché le rette sono affini, il secondo non funziona perché l'esponenziale non è affine.
Scusate se non sono stato troppo preciso, è tardi ed ora vado a dormire
ok, quindi non avendo ancora studiato funzioni affini o non affini, per vedere se una funzione è periodica mi basta in generale verificare che aggiungendo all'argomento un periodo, si possa raccogliere la variabile più il rapporto tra il periodo e il coefficiente della variabile e ottenere lo stesso risultato?
Sì, ma così credo che tu ti stia concentrando troppo sulla forma e poco sul contenuto.
La definizione di funzione periodica è: una funzione \(f\) si dice periodica di periodo \(T\) se \(f(x + T) = f(x)\) per ogni \(x\).
Io ho solo verificato la periodicità con la definizione, niente di magico!
La definizione di funzione periodica è: una funzione \(f\) si dice periodica di periodo \(T\) se \(f(x + T) = f(x)\) per ogni \(x\).
Io ho solo verificato la periodicità con la definizione, niente di magico!
proviamo a fare qualche prova
$f(x)=sen2x$
$f(x)= sen(cosx)$
$f(x)=sen3x$
$f(x)=sen(tgx)$
$f(x)=sen(x^2)$
$f(x)=senpix$
$f(x)=sen2x$
$f(x)= sen(cosx)$
$f(x)=sen3x$
$f(x)=sen(tgx)$
$f(x)=sen(x^2)$
$f(x)=senpix$
$ sin(x^2) $ ad esempio che periodo avrebbe?
magari non ce l'ha...
eh proprio quello chiedevo... bene quindi non ce l'ha
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