Periodi e serie Fourier
Ciao, amici! Il mio testo di analisi, trattando serie di Fourier, si riferisce in genere a funzioni di periodo $2\pi$, ma a me non piacciono troppo le condizioni ristrittive e mi sono così verificato ogni teorema per il caso generale. Chiederei a chiunque conosca tali risultati o abbia voglia di calcolarseli come ho fatto di smentire o confermare quanto ho calcolato, cioè che in tutti i seguenti risultati si può sostituire $\pi$ con \(\frac{T}{2}\) e $[-\pi,\pi]$ con "qualunque intervallo chiuso di ampiezza T contenuto nel dominio di $f$":
-convergenza puntuale della serie di Fourier: se $f$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$, soddisfacente la condizione (D) (cioè che $f:[a,b]->RR$ ha in [a,b] un numero dinito di punti $a<=x_1<...
-disuguaglianza di Bessel (condizione sufficiente è l'integrabilità unita alla limitatezza di $f$ nell'intervallo di integrazione): $1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2"d"x>=2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$ dove $a_0,a_1,...$ e $b_1,b_2,...$ sono i coefficienti del polinomio di Fourier associato;
-convergenza puntuale della serie di Fourier: se $f$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$, soddisfacente la condizione (D) (la stessa di qui sopra) in $[-\pi,\pi]$ e in più continua su $RR$ allora la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente in $RR$.
$\int_0^{\infty} "d(grazie)"$ a tutti quanti vorranno intervenire!
P.S.: sto usando la definizione generale di serie di Fourier $a_0+\sum_{n=1}^{oo} a_ncos((2\pi n)/T x)+b_nsin((2\pi n)/T x)$.
-convergenza puntuale della serie di Fourier: se $f$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$, soddisfacente la condizione (D) (cioè che $f:[a,b]->RR$ ha in [a,b] un numero dinito di punti $a<=x_1<...
-disuguaglianza di Bessel (condizione sufficiente è l'integrabilità unita alla limitatezza di $f$ nell'intervallo di integrazione): $1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2"d"x>=2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$ dove $a_0,a_1,...$ e $b_1,b_2,...$ sono i coefficienti del polinomio di Fourier associato;
-convergenza puntuale della serie di Fourier: se $f$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$, soddisfacente la condizione (D) (la stessa di qui sopra) in $[-\pi,\pi]$ e in più continua su $RR$ allora la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente in $RR$.
$\int_0^{\infty} "d(grazie)"$ a tutti quanti vorranno intervenire!
P.S.: sto usando la definizione generale di serie di Fourier $a_0+\sum_{n=1}^{oo} a_ncos((2\pi n)/T x)+b_nsin((2\pi n)/T x)$.
Risposte
Si, tutto corretto, attenzione però che anche la serie di Fourier cambia: non avrai più \(\cos(nx), \sin(nx)\) ma \(\cos[(2\pi/T)nx], \sin[(2\pi/T)nx].\) Per lo scarto quadratico medio la condizione giusta è \(f \in L^2([-T/2, T/2])\), ovvero \(f^2\) è integrabile (con integrale finito) sull'intervallo specificato.
A me piace ricordare questa teoria pensando che una funzione \(T\)-periodica ha associata una frequenza (angolare) fondamentale[size=80](*)[/size] \(\omega=2\pi /T\) ed è ottenuta sovrapponendo armoniche (=funzioni sinusoidali) corrispondenti a multipli interi di questa frequenza:
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\omega x)+ b_n \sin(n \omega x).\]
________
(*) "Frequenza angolare" = "angolo spazzato nell'unità di tempo". Se preferisci ragionare in termini di "frequenza", come si fa quando si pensa a segnali acustici, applica la sostituzione \(\omega=2\pi\nu\).
A me piace ricordare questa teoria pensando che una funzione \(T\)-periodica ha associata una frequenza (angolare) fondamentale[size=80](*)[/size] \(\omega=2\pi /T\) ed è ottenuta sovrapponendo armoniche (=funzioni sinusoidali) corrispondenti a multipli interi di questa frequenza:
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\omega x)+ b_n \sin(n \omega x).\]
________
(*) "Frequenza angolare" = "angolo spazzato nell'unità di tempo". Se preferisci ragionare in termini di "frequenza", come si fa quando si pensa a segnali acustici, applica la sostituzione \(\omega=2\pi\nu\).
Grazie di cuore, Dissonance!!! Sì, avrei dovuto specificare che cosa intendevo per serie di Fourier in generale di periodo T...
Per quanto riguarda lo scarto quadratico medio, direi che comunque, se una funzione è limitata e integrabile alla Riemann, essa appartiene a \(L^2([-T/2,T/2])\), visto che se è limitata e integrabile l'integrale del quadrato esiste necessariamente limitato e se $f^2$ è integrabile alla Riemann credo che lo sia anche alla Lebesgue (anche se non ho ancora trattato sistematicamente l'integrale di Lebesgue)... quindi valgono le (restrittive) condizioni (sufficienti) che ho posto?
$+oo$ grazie ancora!!!
Per quanto riguarda lo scarto quadratico medio, direi che comunque, se una funzione è limitata e integrabile alla Riemann, essa appartiene a \(L^2([-T/2,T/2])\), visto che se è limitata e integrabile l'integrale del quadrato esiste necessariamente limitato e se $f^2$ è integrabile alla Riemann credo che lo sia anche alla Lebesgue (anche se non ho ancora trattato sistematicamente l'integrale di Lebesgue)... quindi valgono le (restrittive) condizioni (sufficienti) che ho posto?
$+oo$ grazie ancora!!!
Si, certo, una funzione limitata e integrabile alla Riemann è in \(L^2\) di sicuro.
Grazie di cuore per la conferma!!!! Adesso non vedo l'ora di studiare l'integrale di Lebesgue, ma ci arriverò a suo tempo seguendo l'ordine del libro... Proprio nel capitolo dove si introducono le serie di Fourier, in fondo a una pagina, piccolino e sbiadito, (a mo' di messaggio subliminale? 
) c'è scritto "[Maximum remedium irae, mora est]": non è che mi faccia prendere dall'ira se il libro non dimostra e generalizza ogni cosa appena introdotta, ma sembra un consiglio rivolto a chi, come me, vorrebbe sapere tutto subito...
) c'è scritto "[Maximum remedium irae, mora est]": non è che mi faccia prendere dall'ira se il libro non dimostra e generalizza ogni cosa appena introdotta, ma sembra un consiglio rivolto a chi, come me, vorrebbe sapere tutto subito...
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