Perimetro massimo tra parabole
Ho due parabole una simmetrica rispetto all'altra rispetto alla retta :
$ y = 8 $ in particolare $ y=- 3x^2 + 6x + 8 $ e $ y= 3x^2 - 6x + 8$ sono le due parabole.
Si chiede di trovare il perimetro Massimo del Rettangolo iscritto nella regione di piano delimitata tra le due parabole.
Io pensavo di andare a prendere una retta $ y=k$ naturalmente con $ 8
In questo modo si trovano le coordinate delle intersezioni della retta $ y=k$ facendo il sistema con la parabola con concavità verso il basso e si tiene in conto che il rettangolo creato è metà nella parte superiore ed esattamente la metà nella parte inferiore rispetto alla retta $ y=k$ . Questo per trovare le lunghezze dei lati .
Quindi avro' un perimetro in funzione di $k$ . (Tra l'altro in questa relazione ho anche una Radice quadrata) .
Come faccio a trovare il valore di $k$ ? Naturalmente senza usare gli integrali. Dato che è un problema di geometria analitica. Pensavo a trovare il vertice della parabola della funzione $perimetro$ trovata in funzione di $k$ , ma la difficoltà sta appunto nel fatto che nella relazione trovata ho tra l'altro $k$ sotto Radice.
Grazie.
$ y = 8 $ in particolare $ y=- 3x^2 + 6x + 8 $ e $ y= 3x^2 - 6x + 8$ sono le due parabole.
Si chiede di trovare il perimetro Massimo del Rettangolo iscritto nella regione di piano delimitata tra le due parabole.
Io pensavo di andare a prendere una retta $ y=k$ naturalmente con $ 8
In questo modo si trovano le coordinate delle intersezioni della retta $ y=k$ facendo il sistema con la parabola con concavità verso il basso e si tiene in conto che il rettangolo creato è metà nella parte superiore ed esattamente la metà nella parte inferiore rispetto alla retta $ y=k$ . Questo per trovare le lunghezze dei lati .
Quindi avro' un perimetro in funzione di $k$ . (Tra l'altro in questa relazione ho anche una Radice quadrata) .
Come faccio a trovare il valore di $k$ ? Naturalmente senza usare gli integrali. Dato che è un problema di geometria analitica. Pensavo a trovare il vertice della parabola della funzione $perimetro$ trovata in funzione di $k$ , ma la difficoltà sta appunto nel fatto che nella relazione trovata ho tra l'altro $k$ sotto Radice.
Grazie.
Risposte
Com'è fatta la funzione perimetro $p(k)$?
Ma perché complicarsi la vita?
Facendo un disegno:
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=5; ymax=11;
axes("","");
stroke="red"; plot("-3x^2+6x+8",0,2); plot("3x^2-6x+8",0,2);
stroke="dodgerblue"; line([1,10],[1.577,10]); line([1.577,10],[1.577,6]); line([1.577,6],[0.423,6]); line([0.423,6],[0.423,8]);
strokewidth=3; line([0.423,8],[0.423,10]); line([0.423,10],[1,10]);[/asvg]
Chiaramente i rettangoli sono tutti simmetrici rispetto alle rette \(x=1\) ed \(y=8\), quindi per individuare un tale rettangolo ti basta assegnare il punto \(h\in [0,1]\) in cui si proietta il lato verticale sinistro sull'asse delle ascisse.
Facendo un disegno, infatti, si vede che il perimetro del rettangolo individuato da \(h\) si ottiene moltiplicando per \(4\) il valore \((1-h) + (f(h)-8)\), ove \(f(x):= -3x^2+6x+8\) (perché?).
Quindi la funzione da massimizzare è un polinomio di grado due in \(h\), niente di complicato.
Facendo un disegno:
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=5; ymax=11;
axes("","");
stroke="red"; plot("-3x^2+6x+8",0,2); plot("3x^2-6x+8",0,2);
stroke="dodgerblue"; line([1,10],[1.577,10]); line([1.577,10],[1.577,6]); line([1.577,6],[0.423,6]); line([0.423,6],[0.423,8]);
strokewidth=3; line([0.423,8],[0.423,10]); line([0.423,10],[1,10]);[/asvg]
Chiaramente i rettangoli sono tutti simmetrici rispetto alle rette \(x=1\) ed \(y=8\), quindi per individuare un tale rettangolo ti basta assegnare il punto \(h\in [0,1]\) in cui si proietta il lato verticale sinistro sull'asse delle ascisse.
Facendo un disegno, infatti, si vede che il perimetro del rettangolo individuato da \(h\) si ottiene moltiplicando per \(4\) il valore \((1-h) + (f(h)-8)\), ove \(f(x):= -3x^2+6x+8\) (perché?).
Quindi la funzione da massimizzare è un polinomio di grado due in \(h\), niente di complicato.
Ho capito. Siamo perfettamente d'accordo. Io avevo pensato ad una retta $ y=k$ , tu giustamente pensi ad un punto di coordinate :
$ H = (h, -3h^2 + 6h + 8 ) $ , ma credo che il concetto sia identico.
Il problema è che il perimetro deve tornare $ 37/3$ invece con i tuoi calcoli la funzione $p(x) $ da ottimizzare mi viene :
$ 4 ( -3h^2 +5h +1 ) $ che da come radici : $ h= (-5+sqrt 37 )/(-3) $ ed ovviamente $ h= (-5-sqrt 37 )/(-3) $ .
e quindi non riesco a procedere per trovare il risultato sperato. Grazie.
$ H = (h, -3h^2 + 6h + 8 ) $ , ma credo che il concetto sia identico.
Il problema è che il perimetro deve tornare $ 37/3$ invece con i tuoi calcoli la funzione $p(x) $ da ottimizzare mi viene :
$ 4 ( -3h^2 +5h +1 ) $ che da come radici : $ h= (-5+sqrt 37 )/(-3) $ ed ovviamente $ h= (-5-sqrt 37 )/(-3) $ .
e quindi non riesco a procedere per trovare il risultato sperato. Grazie.
Se il perimetro ha espressione
$P(h)=4[(1-h)+(f(h)-8)]=4[1-h+(-3h^2+6h+8-8)]=4(-3h^2+5h+1)$, con $0<=h<=1$,
allora $P(h)$ rappresenta una parabola rivolta verso il basso e il massimo è nel vertice. Quindi
$h_(Max)=(-5)/(2(-3))=5/6$
e
$P_(Max)=P(5/6)=4[-3*(5/6)^2+5*5/6+1]=4[-3*(25/36)+25/6+1]=37/3$.
$P(h)=4[(1-h)+(f(h)-8)]=4[1-h+(-3h^2+6h+8-8)]=4(-3h^2+5h+1)$, con $0<=h<=1$,
allora $P(h)$ rappresenta una parabola rivolta verso il basso e il massimo è nel vertice. Quindi
$h_(Max)=(-5)/(2(-3))=5/6$
e
$P_(Max)=P(5/6)=4[-3*(5/6)^2+5*5/6+1]=4[-3*(25/36)+25/6+1]=37/3$.
Grazie infinite.
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