Perimetro di una curva
Salve!
Come da titolo, in un esercizio mi viene richiesto di calcolare il perimetro ("generalizzato") della curva in $RR^2$ definita dal grafico di $log(x)$ per $x in [0,1]$; ovvero calcolo l'integrale di linea della funzione $f(x,y)=1$ su tale curva.
L'integrale che ne risulta e'
$ lim_(a -> 0^+) int_(a)^(1) sqrt(1+1/t^2) dt $
la cui risoluzione non mi e' ovvia.
Suggerimenti su come potrei calcolarlo? Il procedimento che mi ha portato a questo integrale e' corretto?
Grazie in anticipo,
G
Come da titolo, in un esercizio mi viene richiesto di calcolare il perimetro ("generalizzato") della curva in $RR^2$ definita dal grafico di $log(x)$ per $x in [0,1]$; ovvero calcolo l'integrale di linea della funzione $f(x,y)=1$ su tale curva.
L'integrale che ne risulta e'
$ lim_(a -> 0^+) int_(a)^(1) sqrt(1+1/t^2) dt $
la cui risoluzione non mi e' ovvia.
Suggerimenti su come potrei calcolarlo? Il procedimento che mi ha portato a questo integrale e' corretto?
Grazie in anticipo,
G
Risposte
Ciao,
credo tu abbia fatto un errore di formattazione, penso tu voglia intendere $L(t)=int_(0)^(1)sqrt(1+1/t^2)dt $
Per risolvere quell'integrale $int_(0)^(1)sqrt(1+1/t^2)dt=int_(0)^(1)sqrt((t^2+1))/tdt$ , a questo punto adopera le consuete sostituzioni trigonometriche $t=tanx$ oppure $t=sinhx$
credo tu abbia fatto un errore di formattazione, penso tu voglia intendere $L(t)=int_(0)^(1)sqrt(1+1/t^2)dt $
Per risolvere quell'integrale $int_(0)^(1)sqrt(1+1/t^2)dt=int_(0)^(1)sqrt((t^2+1))/tdt$ , a questo punto adopera le consuete sostituzioni trigonometriche $t=tanx$ oppure $t=sinhx$
Forse la mia forma non e' corretta: quello che intendevo esprimere sopra e' che la lunghezza della curva definita dal grafico di $log(x)$ per $x in [0,1]$ e' data dall'integrale generalizzato che ho scritto sopra, poiche' l'integrando non e' definito in $x=0$.
Grazie per il suggerimento della sostituzione, me ne dimentico molto spesso!
G
Grazie per il suggerimento della sostituzione, me ne dimentico molto spesso!
G
Hai ragione, la tua espressione è corretta. Ho confuso le parentesi
Saluti
Saluti
Sei sicuro che quell'integrale converga? A prima vista direi di no, anche per il semplice fatto che la lunghezza di quel pezzo di curva è necessariamente infinito
Avevo considerato la possibilita' che non convergesse, ma la avevo scartata senza un particolare motivo. Domani mattina controllo la convergenza in maniera approfondita. Grazie dell'osservazione.
G
G
Effettivamente la lunghezza della curva è infinito. Comunque è un buon esercizio calcolare integrali di quel tipo. Controlla bene che l'intervallo richiesto dall'esercizio sia proprio $[0,1]$
L'esercizio e' leggermente piu' generale: lo riporto qui per completezza;
dato l'insieme $E={(x,y)^T in RR^2 : x=0} uu {(x,y)^T in RR^2 : 0<|x|<=1 , y^2=(ln(|x|))^2}$
dato l'insieme $E={(x,y)^T in RR^2 : x=0} uu {(x,y)^T in RR^2 : 0<|x|<=1 , y^2=(ln(|x|))^2}$
- [*:34f382ba]calcolare l'area generalizzata di E;[/*:m:34f382ba][*:34f382ba]calcolare il perimetro generalizzato di E;[/*:m:34f382ba][/list:u:34f382ba]
Quindi l'intervallo e' in effetti $(0,1]$ ma l'integrale generalizzato che ho scritto su non cambia.
Quindi, se riesco a risolvere l'integrale suddetto, mi aspetto che il limite sia infinito.
G
Ma a che ti serve risolverlo? Basta vedere che diverge
risolverei l'integrale generalizzato per dimostrare che ottengo un limite infinito e giustificare cosi' il fatto che il perimetro diverge. Ma in effetti e' stupida come cosa, dato che posso dirlo da subito guardando l'integrando.
Per formalizzare quanto osservato, ho pensato di utilizzare il criterio del confronto :
$sqrt(1/t^2)<=sqrt(1+1/t^2)$ e poiche' l'integrale generalizzato per $t in [0,1]$ di $sqrt(1/t^2)=1/|t|$ diverge, anche la quantita' richiesta risulta divergere.
E' corretto procedere cosi'? scusate i dubbi magari banali, ma non mi capita molto di frequente di verificare la convergenza degli integrali.
G
Per formalizzare quanto osservato, ho pensato di utilizzare il criterio del confronto :
$sqrt(1/t^2)<=sqrt(1+1/t^2)$ e poiche' l'integrale generalizzato per $t in [0,1]$ di $sqrt(1/t^2)=1/|t|$ diverge, anche la quantita' richiesta risulta divergere.
E' corretto procedere cosi'? scusate i dubbi magari banali, ma non mi capita molto di frequente di verificare la convergenza degli integrali.
G
Si, va bene
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