Perfavore spiegatemi il motivo di questa convergenza

[Sciarra1]

potreste spiegarmi cortesemente per quale motivo $int_0^(1/2) 1/(x^alpha*|log(x)|^beta) dx $ converge se $alpha=1,beta>1$? Io ancora l' ho capito; ma infatti mi risulta strano in quanto se $beta>1,alpha=1$ allora l' integrale avrebbe una specifica primitiva, pari a $F(x)=[|log(x)|^(beta+1)/(beta+1)]_0^(1/2)$ e tale funzione non converge... Sbaglio?

[Clorinda1]

"Sciarra":potreste spiegarmi cortesemente per quale motivo $ int_0^(1/2) 1/(x^alpha*|log(x)|^beta) dx $ converge se $ alpha=1,beta>1 $? Io ancora l' ho capito; ma infatti mi risulta strano in quanto se $ beta>1,alpha=1 $ allora l' integrale avrebbe una specifica primitiva, pari a $ F(x)=[|log(x)|^(beta+1)/(beta+1)]_0^(1/2) $ e tale funzione non converge... Sbaglio?

A me risulta che la primitiva sia: $$ F(x)=[-\frac{|\log(x)|^{-(\beta-1)}}{(\beta-1)}]_a^b. $$
Ad esempio se $f(x)= \frac{1}{x|\log(x)|^3} \rightarrow F(x)=-\frac{1}{2 |\log(x)|^2} + c$.
Se $f(x)= \frac{1}{x|\log(x)|^5} \rightarrow F(x)=-\frac{1}{4 |\log(x)|^4} + c$
and so on...

[Sciarra1]

ah giusto, mi ero dimenticato che il logaritmo in tal caso ha esponente negativo, e dunque la sua primitiva avrà il log al denominatore... Grazie comunque