Perchè un intervallo aperto non ha ne massimo ne minimo?

[euclidegirl]

perchè un intervallo aperto (cioè con gli estremi non compresi) non ha ne massimo ne minimo?

[Gatto891]

Perchè estremo inferiore e estremo superiore sono presi dagli estremi, che non appartengono all'intervallo, e quindi non esistono minimo e massimo (dopotutto, minimo e massimo altro non sono che estremo inferiore e superiore SE questi ultimi appartengono all'insieme).

Se inveve stiamo parlando di massimi e minimi di una funzione in un intervallo aperto non è chiaramente vero, infatti $f(x) = |x|$ in $(-1, 1)$ ha un minimo evidente in $x = 0$.

Edit: Figurati, due voci sono sempre meglio di una

[Injo]

Perchè un massimo dell'intervallo $]a,b[$ è un elemento $x\in ]a,b[$ tale che $\nexists y\in ]a,b[ , y >x$. In un intervallo aperto (reale) questo puoi vedere che non può mai essere verificato. Infatti se supponiamo $x$ massimo si ha che un altro elemento del tipo $y=\frac{x+b}{2}$ è maggiore di $x$ ma minore di $b$ (quindi ancora nell'intervallo). Avremmo trovato allora un elemento dell'intervallo maggiore del massimo, cosa che è assurda per definizione stessa di massimo.

Analogo ragionamento si può fare per il minimo scegliendo un $y$ appropriato.

EDIT: Sorry, ci siamo accavallati.

[euclidegirl]

"Injo":Perchè un massimo dell'intervallo $]a,b[$ è un elemento $x\in ]a,b[$ tale che $\nexists y\in ]a,b[ , y >x$. In un intervallo aperto (reale) questo puoi vedere che non può mai essere verificato. Infatti se supponiamo $x$ massimo si ha che un altro elemento del tipo $y=\frac{x+b}{2}$ è maggiore di $x$ ma minore di $b$ (quindi ancora nell'intervallo). Avremmo trovato allora un elemento dell'intervallo maggiore del massimo, cosa che è assurda per definizione stessa di massimo.

Analogo ragionamento si può fare per il minimo scegliendo un $y$ appropriato.

EDIT: Sorry, ci siamo accavallati.

ma se noi abbiamo come estremi a e b (che non sono compresi) in che senso abbiamo trovato un valore maggiore del massimo se y è minore di b? cioè b non rimane sempre maggiore di ogni valore anche se il suo estremo non è compreso e quindi non può essere massimo?

[euclidegirl]

"Gatto89":Perchè estremo inferiore e estremo superiore sono presi dagli estremi, che non appartengono all'intervallo, e quindi non esistono minimo e massimo (dopotutto, minimo e massimo altro non sono che estremo inferiore e superiore SE questi ultimi appartengono all'insieme).

Se inveve stiamo parlando di massimi e minimi di una funzione in un intervallo aperto non è chiaramente vero, infatti $f(x) = |x|$ in $(-1, 1)$ ha un minimo evidente in $x = 0$.

Edit: Figurati, due voci sono sempre meglio di una

grazie ho compreso bene il senso...mi è rimasto un unico dubbio ma sulla risposta seguente alla tua

[euclidegirl]

"Injo":Perchè un massimo dell'intervallo $]a,b[$ è un elemento $x\in ]a,b[$ tale che $\nexists y\in ]a,b[ , y >x$. In un intervallo aperto (reale) questo puoi vedere che non può mai essere verificato. Infatti se supponiamo $x$ massimo si ha che un altro elemento del tipo $y=\frac{x+b}{2}$ è maggiore di $x$ ma minore di $b$ (quindi ancora nell'intervallo). Avremmo trovato allora un elemento dell'intervallo maggiore del massimo, cosa che è assurda per definizione stessa di massimo.

Analogo ragionamento si può fare per il minimo scegliendo un $y$ appropriato.

EDIT: Sorry, ci siamo accavallati.

aspetta forse ho capito...tu intendi parlando di y, quel numero che è compreso tra x e b (che comunque è un intervallo piccolissimo) esatto?

[Rinhos]

"euclidegirl":
ma se noi abbiamo come estremi a e b (che non sono compresi) in che senso abbiamo trovato un valore maggiore del massimo se y è minore di b? cioè b non rimane sempre maggiore di ogni valore anche se il suo estremo non è compreso e quindi non può essere massimo?

no, aspetta:

b non è il massimo, sappiamo che $b$ è il sup]a,b[, e vogliamo dimostrare che non ha massimo, ok?

allora sia per assurdo $x=max]a,b[$, con chiaramente $x!=b$ (perché b non appartiene all'intervallo). Ma allora $y=(x+b)/2$ è minore secco di b (e maggiore secco di x) perché b>x dato che b è estremo superiore e maggiora strettamente ogni elemento dell'intervallo che non sia il massimo, dove vale l'uguaglianza, quindi x=b. ma abbiamo supposto che $x!=b$, ragion per cui si arriva all'assurdo.

[Rinhos]

"euclidegirl":[quote="Injo"]Perchè un massimo dell'intervallo $]a,b[$ è un elemento $x\in ]a,b[$ tale che $\nexists y\in ]a,b[ , y >x$. In un intervallo aperto (reale) questo puoi vedere che non può mai essere verificato. Infatti se supponiamo $x$ massimo si ha che un altro elemento del tipo $y=\frac{x+b}{2}$ è maggiore di $x$ ma minore di $b$ (quindi ancora nell'intervallo). Avremmo trovato allora un elemento dell'intervallo maggiore del massimo, cosa che è assurda per definizione stessa di massimo.

Analogo ragionamento si può fare per il minimo scegliendo un $y$ appropriato.

EDIT: Sorry, ci siamo accavallati.

aspetta forse ho capito...tu intendi parlando di y, quel numero che è compreso tra x e b (che comunque è un intervallo piccolissimo) esatto?[/quote]

sì, esatto

[euclidegirl]

"Rinhos":[quote="euclidegirl"][quote="Injo"]Perchè un massimo dell'intervallo $]a,b[$ è un elemento $x\in ]a,b[$ tale che $\nexists y\in ]a,b[ , y >x$. In un intervallo aperto (reale) questo puoi vedere che non può mai essere verificato. Infatti se supponiamo $x$ massimo si ha che un altro elemento del tipo $y=\frac{x+b}{2}$ è maggiore di $x$ ma minore di $b$ (quindi ancora nell'intervallo). Avremmo trovato allora un elemento dell'intervallo maggiore del massimo, cosa che è assurda per definizione stessa di massimo.

Analogo ragionamento si può fare per il minimo scegliendo un $y$ appropriato.

EDIT: Sorry, ci siamo accavallati.

aspetta forse ho capito...tu intendi parlando di y, quel numero che è compreso tra x e b (che comunque è un intervallo piccolissimo) esatto?[/quote]

sì, esatto [/quote]

grazie a tutti siete mitici!!! ho capito