Perchè se una funzione è derivabile allora è continua ?
Salve a tutti,
per caso qualcuno è in grado di spiegarmi concettualmente e non matematicamente(senza la dimostrazione matematica che riesco a fare) perchè se una funzione è derivabile allora è continua ?Cioè come sono connesse le due cose :S?
per caso qualcuno è in grado di spiegarmi concettualmente e non matematicamente(senza la dimostrazione matematica che riesco a fare) perchè se una funzione è derivabile allora è continua ?Cioè come sono connesse le due cose :S?
Risposte
L'enunciato del teorema e la sua dimostrazione dicono già tutto su come sono connesse le due proprietà; al massimo puoi chiedere un'interpretazione grafica di questo legame, ma essa non leva e non mette nulla alla comprensione matematica di ciò che c'è scritto nel teorema.
In tale ottica, prova a farti un disegno per chiarirti le idee. Traccia il grafico di una funzione derivabile, la retta tangente in un punto e le secanti passanti per tale punto e fai delle considerazioni qualitative.
[OT]
Però, in generale (non è una critica a te, sia ben chiaro), non capisco perchè alcuni studenti pretendano che sia possibile scindere il significato delle proposizioni matematiche dai loro enunciati e dalle loro dimostrazioni.
Come se un teorema avesse due facce distinte tra cui non ci sia alcuna corrispondenza. Mah...
[/OT]
In tale ottica, prova a farti un disegno per chiarirti le idee. Traccia il grafico di una funzione derivabile, la retta tangente in un punto e le secanti passanti per tale punto e fai delle considerazioni qualitative.
[OT]
Però, in generale (non è una critica a te, sia ben chiaro), non capisco perchè alcuni studenti pretendano che sia possibile scindere il significato delle proposizioni matematiche dai loro enunciati e dalle loro dimostrazioni.
Come se un teorema avesse due facce distinte tra cui non ci sia alcuna corrispondenza. Mah...
[/OT]
evidentemente nn riesco a cogliere ciò che mi vuole dire la dimostrazione matematica percependola così come un qualcosa di separato... riformulo la domanda...qual'è il senso della dimostrazione matematica ?
La dimostrazione è più o meno la seguente: sai che:
[tex]$f^\prime (x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex]
è finito, quindi:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^\prime (x_0) =0
\]
da cui segue:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)}{x-x_0} =0\; .
\]
Dato che per \(x\to x_0\) il denominatore della frazione \(\frac{f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)}{x-x_0}\) tende a zero, l'unico modo che tale frazione ha per tendere globalmente a zero è che anche il numeratore tenda a zero, cioé che risulti:
\[
\tag{A}
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)=0\; .
\]
Visto che \(\lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0) (x-x_0) =0\), per il teorema sul limite della somma trovi:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) &=\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f^\prime (x_0)\ (x-x_0)\\
&= \lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + \lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0)\ (x-x_0)\\
&= 0+0\\
&=0
\end{split}
\]
da cui si trae immediatamente:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0)=0
\]
e perciò [tex]$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$[/tex], che è la continuità di \(f\) in \(x_0\).
In particolare, il passaggio (A) è quello importante: esso ti sta dicendo che puoi approssimare l'incremento [tex]$\Delta f=f(x)-f(x_0)$[/tex] con il valore [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex]. Guarda il disegno:
[asvg]xmin=0;xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
plot("0.5 x^2",0,3);
dot([1,0.5]); text([1,0.5],"(x0,f(x0))",aboveleft);
dot([1.5,1.125]); text([1.5,1.125],"(x,f(x))", aboveleft);
stroke="red"; plot("x-0.5",0,3);
stroke="blue"; plot("0.5",0,3);
stroke="green"; line([1.5,0.5],[1.5,1]);
stroke="yellow"; line([1.5,1],[1.5, 1.125]);[/asvg]
in cui in rosso abbiamo tracciato la tangente in [tex]$(x_0,f(x_0))$[/tex], in blu la retta d'equazione [tex]$y=f(x_0)$[/tex], in verde il segmento di lunghezza [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex] ed in verde + giallo il segmento di lunghezza [tex]$\Delta f$[/tex].
Si vede che se prendi [tex]$x\to x_0$[/tex] allora la parte gialla (che rappresente la differenza tra l'incremento [tex]$\Delta f$[/tex] e la quantità [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex]) tende a zero, quindi i limiti di [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex] e di [tex]$\Delta f$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex] coincidono; visto che [tex]$\lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0)\ (x-x_0) =0$[/tex] si ha pure [tex]$\Delta f\to 0$[/tex] e l'unico modo che ha [tex]$\Delta f$[/tex] per tendere a zero è che [tex]$f(x)\to f(x_0)$[/tex]. Sicché [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex].
Ad ogni modo, queste cose si trovano sulla maggior parte dei libri di testo (se non dell'università, sicuramente delle superiori).
Provato a dare uno sguardo?
[tex]$f^\prime (x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex]
è finito, quindi:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^\prime (x_0) =0
\]
da cui segue:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)}{x-x_0} =0\; .
\]
Dato che per \(x\to x_0\) il denominatore della frazione \(\frac{f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)}{x-x_0}\) tende a zero, l'unico modo che tale frazione ha per tendere globalmente a zero è che anche il numeratore tenda a zero, cioé che risulti:
\[
\tag{A}
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0)=0\; .
\]
Visto che \(\lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0) (x-x_0) =0\), per il teorema sul limite della somma trovi:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) &=\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + f^\prime (x_0)\ (x-x_0)\\
&= \lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0) - f^\prime (x_0)\ (x-x_0) + \lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0)\ (x-x_0)\\
&= 0+0\\
&=0
\end{split}
\]
da cui si trae immediatamente:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)-f(x_0)=0
\]
e perciò [tex]$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$[/tex], che è la continuità di \(f\) in \(x_0\).
In particolare, il passaggio (A) è quello importante: esso ti sta dicendo che puoi approssimare l'incremento [tex]$\Delta f=f(x)-f(x_0)$[/tex] con il valore [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex]. Guarda il disegno:
[asvg]xmin=0;xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
plot("0.5 x^2",0,3);
dot([1,0.5]); text([1,0.5],"(x0,f(x0))",aboveleft);
dot([1.5,1.125]); text([1.5,1.125],"(x,f(x))", aboveleft);
stroke="red"; plot("x-0.5",0,3);
stroke="blue"; plot("0.5",0,3);
stroke="green"; line([1.5,0.5],[1.5,1]);
stroke="yellow"; line([1.5,1],[1.5, 1.125]);[/asvg]
in cui in rosso abbiamo tracciato la tangente in [tex]$(x_0,f(x_0))$[/tex], in blu la retta d'equazione [tex]$y=f(x_0)$[/tex], in verde il segmento di lunghezza [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex] ed in verde + giallo il segmento di lunghezza [tex]$\Delta f$[/tex].
Si vede che se prendi [tex]$x\to x_0$[/tex] allora la parte gialla (che rappresente la differenza tra l'incremento [tex]$\Delta f$[/tex] e la quantità [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex]) tende a zero, quindi i limiti di [tex]$f^\prime (x_0)\ (x-x_0)$[/tex] e di [tex]$\Delta f$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex] coincidono; visto che [tex]$\lim_{x\to x_0} f^\prime (x_0)\ (x-x_0) =0$[/tex] si ha pure [tex]$\Delta f\to 0$[/tex] e l'unico modo che ha [tex]$\Delta f$[/tex] per tendere a zero è che [tex]$f(x)\to f(x_0)$[/tex]. Sicché [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex].
Ad ogni modo, queste cose si trovano sulla maggior parte dei libri di testo (se non dell'università, sicuramente delle superiori).
Provato a dare uno sguardo?
Ottima risposta gugo82, grazie.
Ma il mio dubbio rimane. Perché è necessario che, affinché una funzione sia derivabile in un punto, sia continua in quel punto? Infatti nella definizione di derivata c'è il limite e il limite non richiede che la funzione sia definita in un dato punto. Quindi perché è necessario che sia continua?
Per caso sbaglio ad associare la continuità alla definitezza? Oppure sbaglio a dire che la funzione non necessita di essere definita in un punto perché esista il limite?
Spero che dopo quasi quattro anni ci sia qualcuno in questo post
Ma il mio dubbio rimane. Perché è necessario che, affinché una funzione sia derivabile in un punto, sia continua in quel punto? Infatti nella definizione di derivata c'è il limite e il limite non richiede che la funzione sia definita in un dato punto. Quindi perché è necessario che sia continua?
Per caso sbaglio ad associare la continuità alla definitezza? Oppure sbaglio a dire che la funzione non necessita di essere definita in un punto perché esista il limite?
Spero che dopo quasi quattro anni ci sia qualcuno in questo post
Ma nella definizione di derivata si richiede che sia possibile definire il rapporto incrementale e, per definire il rapporto incrementale, c'è bisogno che la funzione sia definita nel punto... 
Ah, mi era sfuggita questa premessa. Grazie!
Prego.
Ho anche modificato un po' la dimostrazione fornita anni fa, per renderla più chiara. Vedi se ti torna tutto.
Ho anche modificato un po' la dimostrazione fornita anni fa, per renderla più chiara. Vedi se ti torna tutto.
Adesso il perché della continuità è molto più chiaro.
Grazie!
Grazie!
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