Perché se dimostro valere per ogni n non è detto valere per n->oo?
Ciao 
Mi scuso per la domanda un po' poco precisa però provo a spiegarmi meglio nel testo. Innanzitutto ho usato cerca e trovato questa discussione che è proprio simile al mio dubbio https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8461599
Tuttavia pur avendola letta non l'ho ancora ben capita e spero di poterne discutere per avere qualche chiarimento.
Il mio dubbio ruota, riassumendo, sul fatto che non riesco a capire il motivo per cui in generale una proprietà dimostrata vera per ogni n non è detto sia vera anche per n->oo.
Ilfatto è che se vale "per ogni" vale anche "aumentando/andando a infinito" arbitrariamente e mi scontro su questo concetto. Cosa non vera come si diceva in quella discussione.
Poi però si dice che
e anche qui non mi è molto chiaro, mi sembra lo stesso problema del mio dubbio: perché invece si asserisce che se $a_n=b_n$ per ogni n allora vale anche per $lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)b_n$ o meglio \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \).
Perché in tal caso vale?
Sono molto confuso e mi scuso se non sono stato molto formale ma devo capire meglio e solocosì penso di superare lo scoglio. Ci ho pensato molto ma non riesco bene a capire dache parte affrontare il problema
Mi scuso per la domanda un po' poco precisa però provo a spiegarmi meglio nel testo. Innanzitutto ho usato cerca e trovato questa discussione che è proprio simile al mio dubbio https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8461599
Tuttavia pur avendola letta non l'ho ancora ben capita e spero di poterne discutere per avere qualche chiarimento.
Il mio dubbio ruota, riassumendo, sul fatto che non riesco a capire il motivo per cui in generale una proprietà dimostrata vera per ogni n non è detto sia vera anche per n->oo.
Ilfatto è che se vale "per ogni" vale anche "aumentando/andando a infinito" arbitrariamente e mi scontro su questo concetto. Cosa non vera come si diceva in quella discussione.
Poi però si dice che
Mi permetto a tal proposito di rispondere alla domanda che hai posto ad anto sul fatto che \( \forall k \in \mathbb{N} \) ottengo che \( a_k = b_k \), poi se anto o qualcun altro vorrà fare delle precisazioni o delle correzioni su quanto sto per dire, con piacere. In questo caso vero \( \forall n \in \mathbb{N} \) implica che è vero anche con \( k \to \infty \)
In primo luogo la scrittura
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
è un modo per dire
\[ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \]
e anche qui non mi è molto chiaro, mi sembra lo stesso problema del mio dubbio: perché invece si asserisce che se $a_n=b_n$ per ogni n allora vale anche per $lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)b_n$ o meglio \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \).
Perché in tal caso vale?
Sono molto confuso e mi scuso se non sono stato molto formale ma devo capire meglio e solocosì penso di superare lo scoglio. Ci ho pensato molto ma non riesco bene a capire dache parte affrontare il problema
Risposte
Se mandare una funzione/successione nel suo limite non fosse a sua volta una funzione, saremmo nei guai. Ciò per dire che è evidente che, quando due funzioni/successioni sono la stessa, tale è (se esiste) anche il loro limite. Quello che non è vero è che se \(Pn\) è una proprietà vera per ogni \(n\), allora anche \(\lim Pn\) è vera. (A rigor di termini questo perché le proposizioni sono a loro volta funzioni, e certe funzioni proposizionali sono continue, certe altre no; ma spiegare perché apre la solita scatola di serpenti, o vermi, o qualche altro animale poco attraente.)
L'errore, se di errore si può parlare, è avere pensato che siccome ci sono certe proprietà che non passano al limite, allora nessuna lo fa; essere uguali è una proprietà molto stabile per due elementi di un insieme \(X\); essere maggiori di zero, per un numero reale, no.
L'errore, se di errore si può parlare, è avere pensato che siccome ci sono certe proprietà che non passano al limite, allora nessuna lo fa; essere uguali è una proprietà molto stabile per due elementi di un insieme \(X\); essere maggiori di zero, per un numero reale, no.
Ti ringrazio per non avermi schernito nonostante la domanda idiota (me ne rendo conto)
Mi piacerebbe, senza lasciar troppo spazio ai serpenti, chiederti un chiarimento su:
Forse non riesco a capire bene e a fondo il perché. Cioè capisco che la definizione di limite sia intrinsecamente diversa da dire vale per ogni n. però intuitivamente mi viene da dire "se vale per ogni n ne vale anche per una infinità (cioè qualunque valore io prenda al limite)".
Mi piacerebbe, senza lasciar troppo spazio ai serpenti, chiederti un chiarimento su:
Quello che non è vero è che se Pn è una proprietà vera per ogni n, allora anche limPn è vera.
Forse non riesco a capire bene e a fondo il perché. Cioè capisco che la definizione di limite sia intrinsecamente diversa da dire vale per ogni n. però intuitivamente mi viene da dire "se vale per ogni n ne vale anche per una infinità (cioè qualunque valore io prenda al limite)".
Prendi la funzione proposizionale definita sui numeri reali; \(P : \mathbb R \to \{0,1\}\) (dove 0 = falso, e 1 = vero, ovviamente) definita da \(P(x)= x > 0\); \(P(1/n)=1\) per ogni \(n : \mathbb N\), eppure...
Il motivo, alla fine, è che \(P\) non è una funzione continua.
Il motivo, alla fine, è che \(P\) non è una funzione continua.
Grazie mille , non l'avevo proprio impostata in questi termini cercando di rispondermi.
, non l'avevo proprio impostata in questi termini cercando di rispondermi.
"solaàl":
(A rigor di termini questo perché le proposizioni sono a loro volta funzioni, e certe funzioni proposizionali sono continue, certe altre no; ma spiegare perché apre la solita scatola di serpenti, o vermi, o qualche altro animale poco attraente.)
Non avevo mai visto le proposizioni come funzioni. Hai qualche referenza in cui posso andare a leggere?
Mi stupisce: cos'altro credevi fosse, una proposizione?
"solaàl":
Mi stupisce: cos'altro credevi fosse, una proposizione?
Ho rinviato il corso di logica all'anno prossimo, dunque non ho veramente mai formalizzato in modo rigoroso il concetto di proposizione. Nel senso mi interesserebbe leggere qualcosa che approfondisca quando una proposizione è continua, rispetto a quale topologia, etc.
Beh, non stavo parlando di corsi: come definiresti una proposizione, se non come una funzione \(P : E \to \Omega\), dove \(E\) è un insieme, e \(\Omega\) uno spazio che parametrizza i valori di verità che P può assumere?
Per quanto riguarda la continuità di una proposizione, ovviamente senz'altro dettaglio non puoi dire molto; ci possono essere diverse topologie su \(\Omega\) (e in effetti spesso è interessante sapere quante, perché sono un modo di sapere che tipo di logica genera un dato \(\Omega\)); nel caso di \(\{0,1\}\) c'è la discreta (e allora è difficile per una proposizione essere continua: bisogna che \(E\) sia unione disgiunta di due aperti, \(P^{-1}0\) e \(P^{-1}1\)... ti ricorda niente questa proprietà di $E$?) l'indiscreta (e allora è facile essere continua: ogni funzione verso uno spazio indiscreto è continua), la topologia di Sierpinski... anzi, facciamo così: prova a determinare l'insieme delle funzioni continue \(P : \mathbb R \to \{0,1\}\) dove a codominio c'è la topologia di Sierpinski; quali proposizioni sono "continuamente vere"? Quali no?
Riguardo a un riferimento piuttosto concreto, ti consiglio di leggere il capitolo 0 del Jacobs, con particolare attenzione alla sezione 0.2, The logic and type theory of sets.
Per quanto riguarda la continuità di una proposizione, ovviamente senz'altro dettaglio non puoi dire molto; ci possono essere diverse topologie su \(\Omega\) (e in effetti spesso è interessante sapere quante, perché sono un modo di sapere che tipo di logica genera un dato \(\Omega\)); nel caso di \(\{0,1\}\) c'è la discreta (e allora è difficile per una proposizione essere continua: bisogna che \(E\) sia unione disgiunta di due aperti, \(P^{-1}0\) e \(P^{-1}1\)... ti ricorda niente questa proprietà di $E$?) l'indiscreta (e allora è facile essere continua: ogni funzione verso uno spazio indiscreto è continua), la topologia di Sierpinski... anzi, facciamo così: prova a determinare l'insieme delle funzioni continue \(P : \mathbb R \to \{0,1\}\) dove a codominio c'è la topologia di Sierpinski; quali proposizioni sono "continuamente vere"? Quali no?
Riguardo a un riferimento piuttosto concreto, ti consiglio di leggere il capitolo 0 del Jacobs, con particolare attenzione alla sezione 0.2, The logic and type theory of sets.
Ho letto la discussione che è molto interessante e credo vada oltre le mie nozioni di primo semestre del primo anno (soprattutto il link al libro), di logica so poco ma il discorso mi pare di averlo capito nella sua essenza.
vorrei però approfondire...
Questo asserto di 3m0o.
Non credo di cogliere il perché il per ogni implichi che vale al limite in questo preciso caso delle serie. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
vorrei però approfondire...
In questo caso vero \( \forall n \in \mathbb{N} \) implica che è vero anche con \( k \to \infty \)
Questo asserto di 3m0o.
Non credo di cogliere il perché il per ogni implichi che vale al limite in questo preciso caso delle serie. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Per il semplice motivo che in questo caso "prendi il limite di" è una funzione: questo viene impacchettato nel mantra "se il limite di bla bla esiste, allora è unico".
Oppure puoi più semplicemente fare questo ragionamento.
Infatti due successioni sono differenti se esiste un indice per cui le loro componenti sono differenti. Questo indice è finito e quindi non hai bisogno di passare al limite.
"3m0o":
In questo caso vero \( \forall n \in \mathbb{N} \) implica che è vero anche con \( k \to \infty \)
In primo luogo la scrittura
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
è un modo per dire
\[ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \]
Supponi che \( \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}a_k x^k =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n}b_k x^k \) ma che le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono differenti.
Allora vuol dire che esiste un \( N \in \mathbb{N} \) minimale tale che \( a_N \neq b_N \), o detto in altro modo, tale che \( a_N \neq b_N \) e \( \forall 0 \leq k \leq N \) abbiamo che \( a_k= b_k \).
Ma \( N \) è finito e anto_zoolander ti ha dimostrato che \( \forall n \in \mathbb{N} \), quindi in particolare anche per \(N\), abbiamo che \( a_k = b_k \), quindi \( N \) non esiste e dunque le due successioni \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \), \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) sono la stessa successione.
Infatti due successioni sono differenti se esiste un indice per cui le loro componenti sono differenti. Questo indice è finito e quindi non hai bisogno di passare al limite.
X 3m0o ahh ho capito solo ora il senso mi sa: in pratica poiché sono identici i termini generali della serie per ogni n, se non fossero identiche esisterebbe un N per cui sono diverse, quindi poichè ho la stessa ciò vale anche al limite.
In parole diverse viene prima l'uguaglianza del termine generale e poi passo al limite.
Ringrazio entrambi perché credo di aver colto solo ora i due ragionameti
In parole diverse viene prima l'uguaglianza del termine generale e poi passo al limite.
Ringrazio entrambi perché credo di aver colto solo ora i due ragionameti
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