Perchè qui si può fare lo scambio serie e integrale?
Salve sono un po' arrugginito su quest'argomento vi chiedo perciò di rinfrescarmi un po' la memoria. Vi illustro un ragionamento e vi chiedo di dirmi se è giusto.
Ho il criterio di Weierstress per la convergenza totale (e quindi uniforme) di una serie di $f_n(x)$: se esiste una successione $M_n$ t.c. $|f_n(x)|
Ho la serie $\sum_{n=0}^{+oo}xe^{-(n+1)x}$. Essa converge puntualmente in 0 (la x davanti annulla tutto) e in x>0 (c'è 'esponenziale negativo). Quindi converge puntualmente in $[0,+oo)$. Prodeco ora con la convergenza totale.
Cerco una successione che ad ogni n maggiori l' n-esima funzione della successione. Posso prendere la successione dei massimi di ognuna delle funzioni calcolati sull'insieme delle x>0. UN rapido conto sul punto stazionario della derivata ad n fissato mostra che il massimo di ogni funzione siu trova in $x=\frac{1}{n+1}$. La serie maggiorante quindi sarebbe $\sum \frac{e^{-1}}{n+1}$ che non converge. La serie quindi non risulta totalmente convergente in x>0.
Se invece prendo un qualsiasi intervallo $x\in[\alpha, +oo) $ con $\alpha>0$, esisterà sempre un n oltre il quale il massimo $x=\frac{1}{n+1}$ diverrebbe $<\alpha$. PErtanto esiste un $\overline n$ per il quale per ogni $n>\overline n $ la successione di funzioni è maggiorata da $e^{-\alpha (n+1)}$ la cui serie converge.
Pertanto la serie di partenza converge totalmente (e quindi uniformemente) su ogni intervallo del tipo $\alpha, +oo$ contenuto nelle x>0 giusto? E in ogni chiuso contenuto in x>0 posso scambiare eventualmente serie e integrale, derivata sotto integrale, la funzione è di classe C1 ecc ecc... giusto?
E se volessi calcolare un integrale del tipo da 0 a $+oo$? non si può fare? O c'è qualche teorema meno famoso che me lo permette? Perchè a volte io lo vedo fare comunque e funziona...E questo è uno di quei casi...Anche Mathematica mi dà il risultato dell'integrazione per serie.
Ho il criterio di Weierstress per la convergenza totale (e quindi uniforme) di una serie di $f_n(x)$: se esiste una successione $M_n$ t.c. $|f_n(x)|
Ho la serie $\sum_{n=0}^{+oo}xe^{-(n+1)x}$. Essa converge puntualmente in 0 (la x davanti annulla tutto) e in x>0 (c'è 'esponenziale negativo). Quindi converge puntualmente in $[0,+oo)$. Prodeco ora con la convergenza totale.
Cerco una successione che ad ogni n maggiori l' n-esima funzione della successione. Posso prendere la successione dei massimi di ognuna delle funzioni calcolati sull'insieme delle x>0. UN rapido conto sul punto stazionario della derivata ad n fissato mostra che il massimo di ogni funzione siu trova in $x=\frac{1}{n+1}$. La serie maggiorante quindi sarebbe $\sum \frac{e^{-1}}{n+1}$ che non converge. La serie quindi non risulta totalmente convergente in x>0.
Se invece prendo un qualsiasi intervallo $x\in[\alpha, +oo) $ con $\alpha>0$, esisterà sempre un n oltre il quale il massimo $x=\frac{1}{n+1}$ diverrebbe $<\alpha$. PErtanto esiste un $\overline n$ per il quale per ogni $n>\overline n $ la successione di funzioni è maggiorata da $e^{-\alpha (n+1)}$ la cui serie converge.
Pertanto la serie di partenza converge totalmente (e quindi uniformemente) su ogni intervallo del tipo $\alpha, +oo$ contenuto nelle x>0 giusto? E in ogni chiuso contenuto in x>0 posso scambiare eventualmente serie e integrale, derivata sotto integrale, la funzione è di classe C1 ecc ecc... giusto?
E se volessi calcolare un integrale del tipo da 0 a $+oo$? non si può fare? O c'è qualche teorema meno famoso che me lo permette? Perchè a volte io lo vedo fare comunque e funziona...E questo è uno di quei casi...Anche Mathematica mi dà il risultato dell'integrazione per serie.
Risposte
In questo caso la serie converge puntualmente a $f(x) = \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}}$, il cui integrale su $(0,+\infty)$ vale $\frac{\pi^2}{6}$.
D'altra parte, $\int_0^{\infty} f_n = \frac{1}{(n+1)^2}$, e dunque $\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6}$.
(Non garantisco sui conti...
EDIT: e faccio bene, visto che il primo integrale era sbagliato.)
Per quanto riguarda l'ultima domanda, ci sono teoremi più famosi che, sotto opportune ipotesi, ti permettono di scambiare serie con integrale, ma riguardano l'integrale di Lebesgue.
D'altra parte, $\int_0^{\infty} f_n = \frac{1}{(n+1)^2}$, e dunque $\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6}$.
(Non garantisco sui conti...
EDIT: e faccio bene, visto che il primo integrale era sbagliato.)
Per quanto riguarda l'ultima domanda, ci sono teoremi più famosi che, sotto opportune ipotesi, ti permettono di scambiare serie con integrale, ma riguardano l'integrale di Lebesgue.
Eco bravo...io sto risolvendo un problema di meccanica statistica quantistica che mi porta a questo integrale...e nelle soluzioni del prof c'è svolto come l'hai fatto tu scrivendo la serie e poi l'integrale scambiati 
Tra l'altro quello normale come l'hai fatto?Comunque riguardo agli altri teoremi famosi, in questo caso non avrei detto che si poteva trovare una maggiorante della successione delle somme integragile per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue...
PS temo che tu abbia sbagliato qualcosa, perchè anche matematica mi da il risultato della serie, pi greco quadro su sei,...
Tra l'altro quello normale come l'hai fatto?Comunque riguardo agli altri teoremi famosi, in questo caso non avrei detto che si poteva trovare una maggiorante della successione delle somme integragile per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue...PS temo che tu abbia sbagliato qualcosa, perchè anche matematica mi da il risultato della serie, pi greco quadro su sei,...
Sì, il primo integrale era sbagliato; avrei dovuto farlo con mathematica
Tra l'altro me ne sarei dovuto accorgere subito, ma la sera le mie già deboli facoltà si appannano ulteriormente...
Vale infatti il seguente risultato piuttosto generale (lo trovi su Rudin, R&CA, Thm. 1.38).
Il tuo era in realtà un caso più facile.
Se le $f_n$ sono non negative e integrabili, allora la successione $(s_n)$ delle somme parziali converge monotonamente a $f$, quindi lo scambio serie/integrale può sempre essere fatto (senza ulteriori ipotesi, però, ambo i membri dell'uguaglianza potrebbero valere $+\infty$).
Tra l'altro me ne sarei dovuto accorgere subito, ma la sera le mie già deboli facoltà si appannano ulteriormente...
Vale infatti il seguente risultato piuttosto generale (lo trovi su Rudin, R&CA, Thm. 1.38).
Sia $f_n: X\to\mathbb{C}$ una successione di funzioni misurabili t.c.
$\sum_{n=0}^{\infty} \int_X |f_n| < \infty$.
Allora la serie $\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ converge puntualmente per quasi ogni $x\in X$; detto $f$ il suo limite puntuale, si ha che
$f\in L^1$, $\int_X f = \sum_{n=0}^{\infty} \int_X f_n$.
Il tuo era in realtà un caso più facile.
Se le $f_n$ sono non negative e integrabili, allora la successione $(s_n)$ delle somme parziali converge monotonamente a $f$, quindi lo scambio serie/integrale può sempre essere fatto (senza ulteriori ipotesi, però, ambo i membri dell'uguaglianza potrebbero valere $+\infty$).
grazie! Ce ne sono altri teoremi di sto genere per integrazioni limiti e derivazioni scambiate con serie o con integrali che possono tornare utili?
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