Perché questo limite non esiste ?

[Mynameis1]

Ciao a tutti, nel mio libro di analisi ho trovato questo limite $ lim_(x -> 0^+) 3^(1/x) sin (1/x ) $ e mi viene detto che non esiste mentre se la x tende a $ 0^- $ esso vale 0 . Mi potete spiegare come mai , se possibile anche risolvendo il limite ? Io ho provato a svolgerlo prima per sostituzione , ponendo $ 1/x = a $ cosicché a tendesse ad infinito ma mi accorgo subito dopo che il limite del seno ( dove l'argomento è una quantità che tende ad infinito ) non esiste ; fosse per questa ragione però la cosa dovrebbe funzionare anche quando la x tende a $ 0^- $ ma ovviamente , da risultati , non sembra andare così . Mi date una mano per favore ? Grazie

[pilloeffe]

Ciao Mynameis,

Il tuo libro di analisi ha ragione.

"Mynameis":ma mi accorgo subito dopo che il limite del seno (dove l'argomento è una quantità che tende ad infinito) non esiste

Esatto: non esiste perché continua ad oscillare fra $-1$ e $1$, e quindi il risultato fra $-\infty$ e $+\infty$...

"Mynameis":fosse per questa ragione però la cosa dovrebbe funzionare anche quando la $x$ tende a $0^{−}$

No perché per $x \to 0^{-}$ l'esponenziale $3^{1/x}$ tende a $0$, per cui non ha importanza come si comporta il seno (che comunque rimane una funzione limitata fra $-1$ e $1$): il risultato è $0$.

[Mynameis1]

D'accordo grazie . Quindi per quanto riguarda il primo limite ho ragionato correttamente ; per il secondo limite il risultato è $ 0 $ poiché ho il prodotto di una quantità infinitesima $ 3^(1/X) $ ed una limitata $ sin (1/x) $ ? . Lo chiedo perché nel foglio dei limiti notevoli che mi sono riassunto ho riportato il limite notevole $ lim_(x -> oo ) 1/x cos x = 0 $ con scritto che questo limite è pari a $ 0 $ poiché prodotto di una quantità infinitesima ed una limitata appunto . Se così allora ha validità "generale" ( anche se non è proprio corretto il termine ) questa relazione ? Ovvero che il limite del prodotto di una quantità infinitesima per una limitata è sempre $ 0 $ ?

[pilloeffe]

[Mynameis1]

"pilloeffe"::smt023

Mille grazie per l'aiuto !