Perché questo limite globale non esiste ?
Salve a tutti, non riesco a capire questo passaggio nel seguente limite:
\[\lim_{x\to 0^-} \, \frac{\sqrt{x^4+x^2}}{x+\log ^2(x+1)}\]=\[\lim_{x\to 0^-} \, -\sqrt{\frac{x^4+x^2}{\left(x+\log ^2(x+1)\right)^2}}\]
Ecco, quel segno - davanti la radice da dove salta fuori ?
Nel limite da destra invece il - non c'è.
Proprio questo segno porta alla non esistenza del limite globale.
Ha qualcosa a che vedere con la seguente uguaglianza ? \[\left| f(x)\right| =\sqrt{f(x)^2}\]
Oppure è legato soltanto al denominatore che si azzera ? Perché in altri limiti non fratti con un radicando al quadrato che si azzera, questa distinzione nel segno non viene fatta.
Grazie, se qualcuno sarà in grado di rispondermi
\[\lim_{x\to 0^-} \, \frac{\sqrt{x^4+x^2}}{x+\log ^2(x+1)}\]=\[\lim_{x\to 0^-} \, -\sqrt{\frac{x^4+x^2}{\left(x+\log ^2(x+1)\right)^2}}\]
Ecco, quel segno - davanti la radice da dove salta fuori ?
Nel limite da destra invece il - non c'è.
Proprio questo segno porta alla non esistenza del limite globale.
Ha qualcosa a che vedere con la seguente uguaglianza ? \[\left| f(x)\right| =\sqrt{f(x)^2}\]
Oppure è legato soltanto al denominatore che si azzera ? Perché in altri limiti non fratti con un radicando al quadrato che si azzera, questa distinzione nel segno non viene fatta.
Grazie, se qualcuno sarà in grado di rispondermi
Risposte
Salta fuori perché il denominatore è negativo avvicinandosi la $x$ a zero da sinistra.
Perciò, dato che la frazione è negativa, per mantenere il segno corretto va posto quel meno davanti alla "nuova" radice
Perciò, dato che la frazione è negativa, per mantenere il segno corretto va posto quel meno davanti alla "nuova" radice
Ma perché fare tutto sto casino?
Portare roba sotto radice è una seccatura, usualmente.
Il limite si risolve sfruttando i limiti notevoli: mettendo in evidenza un $x^2$ sotto radice ed un $x$ al denominatore, portando fattori fuori radice con l'uso del valore assoluto e facendo un po' di passaggi algebrici di poco conto al denominatore, si ottiene
\[
\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{x + \log^2 (1+x)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|\sqrt{1 + x^2}}{x\left( 1 + \frac{\log^2 (1+x)}{x}\right)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{- \sqrt{1 + x^2}}{1 + \left( \frac{\log (1+x)}{x}\right)^2 \ x} = -1\; .
\]
O, ancora più semplicemente, scegliendo di mantenere gli infinitesimi d'ordine più basso a numeratore e denominatore:
\[
\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{x + \log^2 (1+x)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x} =-1\; .
\]
Portare roba sotto radice è una seccatura, usualmente.
Il limite si risolve sfruttando i limiti notevoli: mettendo in evidenza un $x^2$ sotto radice ed un $x$ al denominatore, portando fattori fuori radice con l'uso del valore assoluto e facendo un po' di passaggi algebrici di poco conto al denominatore, si ottiene
\[
\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{x + \log^2 (1+x)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|\sqrt{1 + x^2}}{x\left( 1 + \frac{\log^2 (1+x)}{x}\right)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{- \sqrt{1 + x^2}}{1 + \left( \frac{\log (1+x)}{x}\right)^2 \ x} = -1\; .
\]
O, ancora più semplicemente, scegliendo di mantenere gli infinitesimi d'ordine più basso a numeratore e denominatore:
\[
\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{x + \log^2 (1+x)} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x} =-1\; .
\]
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