Perchè questo limite fa 0?
Ciao a tutti, devo calcolare questo limite :
$lim x-> 00 (sqrt(n^2))arctg ( 1 / (n(1+x^2)))$ solo che non so come fare. Avevo pensato con taylor ma io ho studiato solo quando il limite tende a 0 e non so se esiste quando tende ad infinito. Consigli?
N.b. La radice è cubica, non so mettere l'indice
$lim x-> 00 (sqrt(n^2))arctg ( 1 / (n(1+x^2)))$ solo che non so come fare. Avevo pensato con taylor ma io ho studiato solo quando il limite tende a 0 e non so se esiste quando tende ad infinito. Consigli?
N.b. La radice è cubica, non so mettere l'indice
Risposte
Ciao MarcoPierro,
Non è che come l'hai scritto si capisca un gran che... Se il limite è effettivamente per $x \to infty$ (e quindi $n$ figura come una costante) il risultato è $0$.
Per fare la radice cubica devi scrivere \sqrt[3](...) racchiuso fra i comandi tex e /tex a loro volta racchiusi fra parentesi quadre, come specificato nella guida alle formule che puoi reperire qui.
Non è che come l'hai scritto si capisca un gran che... Se il limite è effettivamente per $x \to infty$ (e quindi $n$ figura come una costante) il risultato è $0$.
Per fare la radice cubica devi scrivere \sqrt[3](...) racchiuso fra i comandi tex e /tex a loro volta racchiusi fra parentesi quadre, come specificato nella guida alle formule che puoi reperire qui.
"pilloeffe":
Ciao MarcoPierro,
Non è che come l'hai scritto si capisca un gran che... Se il limite è effettivamente per $x \to infty$ (e quindi $n$ figura come una costante) il risultato è $0$.
Per fare la radice cubica devi scrivere \sqrt[3](...) racchiuso fra i comandi tex e /tex a loro volta racchiusi fra parentesi quadre, come specificato nella guida alle formule che puoi reperire qui.
Effettivamente ho scritto un po' male, comunque no ho sbagliato è $lim n \to infty$, non per x, non me n'ero accorto.(Quindi il limite cambia?) Ti ringrazio per la delucidazione dei comandi!
Ciao MarcoPierro,
No, in effetti non cambia: fa $0$ anche nel caso in cui $n \to infty$. Per vederlo, prova a portare avanti la tua idea dello sviluppo in serie di $arctan[frac{1}{n(1 + x^2)}]$ osservando che per $n \to infty$ l'argomento della funzione $arctan$ tende a $0$...
No, in effetti non cambia: fa $0$ anche nel caso in cui $n \to infty$. Per vederlo, prova a portare avanti la tua idea dello sviluppo in serie di $arctan[frac{1}{n(1 + x^2)}]$ osservando che per $n \to infty$ l'argomento della funzione $arctan$ tende a $0$...
"pilloeffe":
Ciao MarcoPierro,
No, in effetti non cambia: fa $0$ anche nel caso in cui $n \to infty$. Per vederlo, prova a portare avanti la tua idea dello sviluppo in serie di $arctan[frac{1}{n(1 + x^2)}]$ osservando che per $n \to infty$ l'argomento della funzione $arctan$ tende a $0$...
Sì, questo l'avevo capito, solo che c'è la radice di +infinito prima che moltiplica 0 quindi verrebbe una forma indeterminata
Esatto: ma se sviluppi in serie la funzione $arctan$ come ti ho suggerito e come tu stesso avevi pensato, risolvi la forma indeterminata...
"pilloeffe":
Esatto: ma se sviluppi in serie la funzione $arctan$ come ti ho suggerito e come tu stesso avevi pensato, risolvi la forma indeterminata...
Il punto è proprio questo, non so sviluppare in serie con Taylor quando x tende a +infinito, ma solo con centro in 0
Non è $x to +\infty$, ma $n \to +\infty$: l'argomento della funzione $arctan$ tende a $0$...
"pilloeffe":
Non è $x to +\infty$, ma $n \to +\infty$: l'argomento della funzione $arctan$ tende a $0$...
Io so solo che mi trovo $+\infty * 0$ dove $ +\infty$ è il limite della radice e 0 è il limite dell'arcotangente, mi trovo di fronte ad una forma indeterminata e non so sviluppare in serie.
Lascia perdere la radice cubica (per il momento), e scriviti lo sviluppo in serie di $arctan u$ come sai fare, dato che nel tuo caso $u := \frac{1}{n(1+x^2)}$ tende a $0$...
"pilloeffe":
Lascia perdere la radice cubica (per il momento), e scriviti lo sviluppo in serie di $arctan u$ come sai fare, dato che nel tuo caso $u := \frac{1}{n(1+x^2)}$ tende a $0$...
Sarò io stupido ma non capisco.. se intendi lo sviluppo dell'arcotangente è $ x - x^3/3 + o(x^3)$. Per il resto non sò
Ok, allora visto che lo sviluppo in serie lo conosci, adesso procedi come segue:
1) scrivi lo stesso sviluppo in serie scrivendo $u$ al posto di $x$;
2) ora al posto di $u$ scrivi quello che hai tu, cioè $u := \frac{1}{n(1+x^2)}$;
3) moltiplica il tutto per [tex]\sqrt[3]{n^2}[/tex];
4) Fine: a questo punto dovresti essere in grado di capire facilmente perché il $\lim_{n \to +infty}$ fa $0$...
1) scrivi lo stesso sviluppo in serie scrivendo $u$ al posto di $x$;
2) ora al posto di $u$ scrivi quello che hai tu, cioè $u := \frac{1}{n(1+x^2)}$;
3) moltiplica il tutto per [tex]\sqrt[3]{n^2}[/tex];
4) Fine: a questo punto dovresti essere in grado di capire facilmente perché il $\lim_{n \to +infty}$ fa $0$...
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