Perché queste due definizioni di continuità sono equivalenti?

[marco2132k]

Ciao. Usualmente, definisco continua in \( a\in A \) un funzione \( f\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) se, tra le tante, per ogni intorno \( N \) di \( fa \) esiste un intorno \( M \) di \( a \) tale che \( fM\subset N \). Rinunciando alla costrizione sul dominio, questa è esattamente la definizione di continuità puntuale che si dà per funzioni tra spazi topologici.

Un'altra caratterizzazione di continuità che ho incontrato richiede che, per essere continua in \( a \), \( f \) (funzione di variabile reale) debba ammettere, per ogni intorno \( N \) di \( fa \), un intorno \( M \) di \( a \) tale che per ogni \( x\in M\cap A \) sia \( fx\in N \). (Quell'\( x\in M\cap A \) mi fa intuire che \( M \) è inteso come intorno di \( a \) nella topologia di \( \mathbb{R} \)).

Queste due definizioni sono equivalenti? A mio avviso, \( A\subset\mathbb{R} \) deve essere visto con la topologia di sottospazio: allora, se \( f \) è continua in \( a \) nella seconda caratterizzazione, dato un intorno \( N \) di \( fa \), esisterà un intorno \( M \) di \( a \) (non necessariamente contenuto in \( A \)) tale che \( f(M\cap A)\subset f^{*}N \): allora, nella topologia di sottospazio \( M\cap A \) è un intorno, e quindi ciò implica 1.

[dissonance]

Non ho letto con attenzione, ma ovviamente devi considerare \(A\) con la topologia di sottospazio, che altra se no? Le definizioni che citi dovrebbero essere tutte equivalenti.

[marco2132k]

Grazie per la risposta, @dissonace; mi era sfuggita. In effetti ho scoperto dopo che l'autore di quegli esercizi definisce l'immagine di una funzione \( f\colon A\to B \) per ogni insieme \( S \), e non solo per sottoinsiemi del dominio \( A \) (analoghe per la controimmagine). Ossia dà \( fS \), per un insieme qualunque, come \( fS=\{fx:x\in S\cap A\} \). Allora sì, sono equivalenti indipendentemente dal casino che ho scritto.