Perchè non è uno spazio completo
Salve a tutti ! Vorrei capire perchè lo spazio $ c_(00) $ delle successioni definitivamente nulle non è uno spazio completo e perchè non è chiuso nello spazio $ l^oo $ !!! Qualcuno di voi me lo saprebbe spiegare ? mi è stato suggerito all'università di provare prendendo le successioni troncate di $ {1/n} $ quindi ad esempio $ ( 1,0,0.....) $, $ (1,1/2,0,0...) $...$ (1,1/2,....1/k,0,....) $ ma non riesco a dire che tale successione tende ad un elemento che non sta in $ c_(00) $ !!! Inoltre Il fatto che non sia chiuso dipende dalla sua non-completezza giusto ?????
Risposte
Innanzitutto, immaginati quale possa essere il limite puntuale della successione che proponi, ossia quella col termine generale [tex]$x^n$[/tex] definito ponendo:
[tex]$x_m^n :=\begin{cases} \frac{1}{m} &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]...
Poi chiediti se tale limite sta in [tex]$c_{00}$[/tex].*
Ed ovviamente, prova che la successione [tex]$(x^n)$[/tex] è di Cauchy in norma [tex]$\ell^\infty$[/tex]: in tal modo hai trovato una successione di Cauchy in [tex]$c_{00}$[/tex] che non converge in [tex]$c_{00}$[/tex], quindi [tex]$c_{00}$[/tex] non è completo.
Per quanto riguarda la chiusura di [tex]$c_{00}$[/tex] in [tex]$\ell^\infty$[/tex], nota che tutti i sottospazi chiusi di uno spazio normato sono completi rispetto alla norma indotta da quella dello spazio ambiente; conseguentemente, se [tex]$c_{00}$[/tex] fosse chiuso in [tex]$\ell^\infty$[/tex], esso dovrebbe essere completo rispetto alla norma [tex]$\ell^\infty$[/tex]... Ma ciò è assurdo per quanto detto prima!
__________
* [size=85]Dire che [tex]$x=(x_m)$[/tex] è il limite puntuale della successione [tex]$(x^n)$[/tex] (i cui elementi sono [tex]$x^n=(x_m^n)$[/tex]) significa dire che vale la relazione:
[tex]$\forall m\in \mathbb{N},\ x_m=\lim_n x_m^n$[/tex];
in altre parole, per calcolare la [tex]$m$[/tex]-esima coordinata di [tex]$x$[/tex] devi passare al limite su [tex]$n$[/tex] la successione delle coordinate [tex]$m$[/tex]-esime degli [tex]$x^n$[/tex].
Una rappresentazione che aiuta a calcolare il limite puntuale di una successione di successioni è la seguente: prendi le [tex]$x^n$[/tex] ed usale come righe di una "matrice infinita"; il limite della successione [tex]$x^n$[/tex] è la successione [tex]$x$[/tex] che ha per coordinate i limiti delle successioni che leggi sulle colonne di tale "matrice infinita".
Ad esempio, nel nostro caso abbiamo:
[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \dots\end{pmatrix}$[/tex]
e, guardando sulle colonne, troviamo successioni definitivamente costanti e perciò regolari; pertanto il limite [tex]$x=(x_m)$[/tex] della successione [tex]$x^n$[/tex] è la successione che ha:
[tex]$x_1=1,\ x_2=\frac{1}{2},\ x_3= \frac{1}{3},\ x_4= \frac{1}{4},\ \ldots ,\ x_m= \frac{1}{m},\ \ldots$[/tex].[/size]
[tex]$x_m^n :=\begin{cases} \frac{1}{m} &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]...
Poi chiediti se tale limite sta in [tex]$c_{00}$[/tex].*
Ed ovviamente, prova che la successione [tex]$(x^n)$[/tex] è di Cauchy in norma [tex]$\ell^\infty$[/tex]: in tal modo hai trovato una successione di Cauchy in [tex]$c_{00}$[/tex] che non converge in [tex]$c_{00}$[/tex], quindi [tex]$c_{00}$[/tex] non è completo.
Per quanto riguarda la chiusura di [tex]$c_{00}$[/tex] in [tex]$\ell^\infty$[/tex], nota che tutti i sottospazi chiusi di uno spazio normato sono completi rispetto alla norma indotta da quella dello spazio ambiente; conseguentemente, se [tex]$c_{00}$[/tex] fosse chiuso in [tex]$\ell^\infty$[/tex], esso dovrebbe essere completo rispetto alla norma [tex]$\ell^\infty$[/tex]... Ma ciò è assurdo per quanto detto prima!
__________
* [size=85]Dire che [tex]$x=(x_m)$[/tex] è il limite puntuale della successione [tex]$(x^n)$[/tex] (i cui elementi sono [tex]$x^n=(x_m^n)$[/tex]) significa dire che vale la relazione:
[tex]$\forall m\in \mathbb{N},\ x_m=\lim_n x_m^n$[/tex];
in altre parole, per calcolare la [tex]$m$[/tex]-esima coordinata di [tex]$x$[/tex] devi passare al limite su [tex]$n$[/tex] la successione delle coordinate [tex]$m$[/tex]-esime degli [tex]$x^n$[/tex].
Una rappresentazione che aiuta a calcolare il limite puntuale di una successione di successioni è la seguente: prendi le [tex]$x^n$[/tex] ed usale come righe di una "matrice infinita"; il limite della successione [tex]$x^n$[/tex] è la successione [tex]$x$[/tex] che ha per coordinate i limiti delle successioni che leggi sulle colonne di tale "matrice infinita".
Ad esempio, nel nostro caso abbiamo:
[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & 0 &\dots \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \dots\end{pmatrix}$[/tex]
e, guardando sulle colonne, troviamo successioni definitivamente costanti e perciò regolari; pertanto il limite [tex]$x=(x_m)$[/tex] della successione [tex]$x^n$[/tex] è la successione che ha:
[tex]$x_1=1,\ x_2=\frac{1}{2},\ x_3= \frac{1}{3},\ x_4= \frac{1}{4},\ \ldots ,\ x_m= \frac{1}{m},\ \ldots$[/tex].[/size]
Grazie per avermi risposto Gugo82 ! Solo che sono alle prime armi con questa roba e ancora non entro bene nell'ottica di esercizi di questo tipo ! se il limite di quella successione è uguale a quello che mi hai scritto tu,quel limite lì non appartiene allo spazio $ c_00 $ perchè non è definitivamente nullo ! i suoi termini tendono a zero per m grande ma non saranno mai nulli ,giusto ? o l'ho sparata grossa ?
Esattissimo! 
D'altra parte puoi anche verificare facilmente che il limite puntuale è anche il limite in norma, perchè si ha [tex]$x\in \ell^\infty$[/tex] e:
[tex]$\lVert x-x^n\rVert_\infty = \sup_{m\in \mathbb{N}} |x_m-x_m^n| =\sup_{m\geq n+1} \frac{1}{m} =\frac{1}{n+1}$[/tex]
quindi evidentemente [tex]$\lim_n \lVert x-x^n \rVert_\infty =\lim_n \tfrac{1}{n+1}=0$[/tex].
D'altra parte puoi anche verificare facilmente che il limite puntuale è anche il limite in norma, perchè si ha [tex]$x\in \ell^\infty$[/tex] e:
[tex]$\lVert x-x^n\rVert_\infty = \sup_{m\in \mathbb{N}} |x_m-x_m^n| =\sup_{m\geq n+1} \frac{1}{m} =\frac{1}{n+1}$[/tex]
quindi evidentemente [tex]$\lim_n \lVert x-x^n \rVert_\infty =\lim_n \tfrac{1}{n+1}=0$[/tex].
Grazie ! Poi mi hai detto di dimostrare che quella successione è di Cauchy in norma $ l^00 $ ! quindi devo far vedere che $ || x_n -x_m ||_00 k ! Ma non riesco a fare il sup ! come devo ragionare ?
Innanzitutto, al posto di prendere [tex]$n,m$[/tex] "a caso", molte volte conviene prendere [tex]$m=n+p$[/tex] con [tex]$p\in \mathbb{N}$[/tex] (ciò non lede la generalità, ovviamente).
A questo punto fissi [tex]$n,p$[/tex] e consideri la successione differenza [tex]$x^{n+p}-x^n$[/tex] la quale ha componenti:
[tex]$\begin{cases} x_m^{n+p}-x_m^n &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ x_m^{n+p} &\text{, se } n+1\leq m\leq n+p \\ 0&\text{, se } m>n+p \end{cases}$[/tex]
ossia:
[tex]$\begin{cases} 0 &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ \frac{1}{m} &\text{, se } n+1\leq m\leq n+p \\ 0&\text{, se } m>n+p\end{cases}$[/tex];
quindi si ha:
[tex]$\lVert x^{n+p} -x^n\rVert_\infty =\sup_{n+1\leq m\leq n+p} \frac{1}{m} =\ldots$[/tex]
E lascio finire te stavolta.
A questo punto fissi [tex]$n,p$[/tex] e consideri la successione differenza [tex]$x^{n+p}-x^n$[/tex] la quale ha componenti:
[tex]$\begin{cases} x_m^{n+p}-x_m^n &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ x_m^{n+p} &\text{, se } n+1\leq m\leq n+p \\ 0&\text{, se } m>n+p \end{cases}$[/tex]
ossia:
[tex]$\begin{cases} 0 &\text{, se } 1\leq m\leq n \\ \frac{1}{m} &\text{, se } n+1\leq m\leq n+p \\ 0&\text{, se } m>n+p\end{cases}$[/tex];
quindi si ha:
[tex]$\lVert x^{n+p} -x^n\rVert_\infty =\sup_{n+1\leq m\leq n+p} \frac{1}{m} =\ldots$[/tex]
E lascio finire te stavolta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo