Perchè non è completo?

[curiosone1]

Ciao ragazzi, come state?
Vi vorrei sottoporre un quesito interessante che tratta gli insiemi completi.
Partiamo dalla definizione: (X,d) è uno spazio metrico completo se ogni successione di Cauchy ammette limite in X
Gli unici insiemi sono R^n e C.

Ora la domanda interessante: sia $ (R, r1) $ uno spazio metrico e sia $ r1 = abs(arctan(x)-arctan(y)) $ .
Il mio professore mi dice che (R, r1) non è completo.
Ma perché? in teoria, dalla definizione, basta che X sia R (in genere: R^n) oppure C che abbiamo lo spazio metrico completo, a prescindere dalla natura/definizione della distanza. Voi che potete dire? Dove sbaglio?

[Antimius]

"curiosone":
Ma perché? in teoria, dalla definizione, basta che X sia R (in genere: R^n) oppure C che abbiamo lo spazio metrico completo, a prescindere dalla natura/definizione della distanza. Voi che potete dire? Dove sbaglio?

No! La definizione di completezza è quella che hai scritto sopra, cioè:

"curiosone":
(X,d) è uno spazio metrico completo se ogni successione di Cauchy ammette limite in X

Quindi, come puoi vedere, dipende dalla scelta della metrica

Per dimostrare che $\mathbb{R}$ munito della metrica $r_1$ non è completo, devi trovare un controesempio, cioè una successione che sia di Cauchy ma non convergente. Così, a occhio, $x_n=n$ dovrebbe funzionare. Prova a fare qualche tentativo.

[Magma1]

Ciao,

io non ho trattato questi argomenti, però da quello che scrivi

se ogni successione di Cauchy ammette limite in $X rArr (X,d)$ è uno spazio metrico completo

si deduce che

$(X,d)$ non è uno spazio metrico completo $rArr EE$ una successione di Cauchy che non ammette limite in $X$

[dan952]

La successione suggerita funge da controesempio, infatti mostriamo che è di Cauchy. Dobbiamo mostrare che $\forall \varepsilon >0$ esiste $N \in NN$ tale che $d(x_m,x_n) < \varepsilon$ per ogni $m,n \geq N$. Fissiamo $\varepsilon>0$ e prendiamo $N \in NN$ tale che $N>\tan(\frac{\pi}{2}-\varepsilon)$, presi $m,n \leq N$ risulta quindi che
$$d(x_m,x_n)=|\arctan(m)-\arctan(n)|<|\arctan(m)-\arctan(N)|<|\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-\varepsilon)|=\varepsilon$$
Le disuguaglianze seguono dal monotonia di $\arctan$.

Tuttavia $\lim_{n \rightarrow +\infty} d(x_n,x)=0$ se $x$ è tale che $\arctan(x)=\pi/2$ ma nessun elemento di $RR$ soddisfa questa condizione.

[curiosone1]

Indicativamente ho seguito le vostre indicazioni e vi ringrazio per il momento dedicato.
La domanda era molto più profonda di quanto pensassi! Vi ringrazio ragazzi, mi avete aiutato!