Perché la delta di dirac non è una funzione?
Salve a tutti,
ho letto che la definizione della delta di dirac è
$\delta_n(x) = $ \begin{cases} n \space \space 0 < x < \frac 1 n \\ 0 \space \space altrimenti \end{cases}
con $ \lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = \delta(x) $
(scusate ma non so come fare il minore/maggiore-uguale).
E gode dell'ovvia proprietà:
$ int_(-\infty)^\infty \delta(x) = 1$
Inoltre con pochi passaggi si dimostra che:
$ int_(-\infty)^\infty \delta(x_0)g(x) = g(x_0) $
Tuttavia ho anche letto che quest'ultima dicitura non ha nulla ha che vedere con l'integrale di Riemann perché la delta di dirac non è una funzione. Ho cercato su intenret e ho trovato che infatti la delta di dirac è una distribuzione, ma non ho ben capito di cosa si tratti...
So di non avere probabilmente le competenze matematiche necessarie, ma potrei sapere che differenza c'è? (almeno intuitivamente).
Grazie mille!
ho letto che la definizione della delta di dirac è
$\delta_n(x) = $ \begin{cases} n \space \space 0 < x < \frac 1 n \\ 0 \space \space altrimenti \end{cases}
con $ \lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = \delta(x) $
(scusate ma non so come fare il minore/maggiore-uguale).
E gode dell'ovvia proprietà:
$ int_(-\infty)^\infty \delta(x) = 1$
Inoltre con pochi passaggi si dimostra che:
$ int_(-\infty)^\infty \delta(x_0)g(x) = g(x_0) $
Tuttavia ho anche letto che quest'ultima dicitura non ha nulla ha che vedere con l'integrale di Riemann perché la delta di dirac non è una funzione. Ho cercato su intenret e ho trovato che infatti la delta di dirac è una distribuzione, ma non ho ben capito di cosa si tratti...
So di non avere probabilmente le competenze matematiche necessarie, ma potrei sapere che differenza c'è? (almeno intuitivamente).
Grazie mille!
Risposte
Quanto vale $\delta$ in zero? Attento, se dici "vale infinito" ti arriva una testata.
I fisici dicono che in $x = 0 $ vale infinito e dalle altre parti $ 0 $
Eccerto, perche' infinito e' un numero, tutto regolare!
"killing_buddha":
Quanto vale $\delta$ in zero? Attento, se dici "vale infinito" ti arriva una testata.
Ok, ma non riesco bene a capire la differenza, ad esempio, con $1/x$... Perché non può essere vista come una singolarità il punto $x=0$?
Il punto è che quel limite che hai scritto non ha significato nel senso usuale. E nemmeno l’integrale. Va tutto inteso in un contesto più generale che è quello delle distribuzioni. $\delta$ non è una funzione e, per esempio, non ha senso dire $\delta(8)=0$.
È un “oggetto” che vive in uno spazio a se, prende una funzione e ne restituisce il valore in zero, per esempio prendi la funzione $f(x)=e^{-x^2}$ allora $\deltaf = 1$. Quest’ultima operazione si indica spesso anche con l’integrale del prodotto ma non ha nulla a che vedere con gli integrali di Riemann, è solo un simbolo.
È un “oggetto” che vive in uno spazio a se, prende una funzione e ne restituisce il valore in zero, per esempio prendi la funzione $f(x)=e^{-x^2}$ allora $\deltaf = 1$. Quest’ultima operazione si indica spesso anche con l’integrale del prodotto ma non ha nulla a che vedere con gli integrali di Riemann, è solo un simbolo.
"dRic":
[quote="killing_buddha"]Quanto vale $\delta$ in zero? Attento, se dici "vale infinito" ti arriva una testata.
Ok, ma non riesco bene a capire la differenza, ad esempio, con $1/x$... Perché non può essere vista come una singolarità il punto $x=0$?[/quote]
Attento: i punti di discontinuità non fanno parte del dominio, al massimo la funzione può avere un limite. Tra l'altro se applicassi il concetto di limite al delta di Dirak il limite della funzione in 0 sarebbe 0, certo non infinito.
Grazie mille per le risposte. Facendo il punto della situazione, vorrei riassumere quanto mi avete detto:
- Parto dalla funzione $\delta_n(x)$ che è una semplice funzione a tratti.
- Faccio il limite per $n \rightarrow \infty$
- Quello che ottengo non è più una funzione perché in $0$ è presente una "singolarità" che non posso eliminare l, nel senso che è intrinseca a ciò che ho definito.
- Sebbene non ho più a che fare con una funzione conservo, almeno formalmente, alcune "proprietà", come appunto quella specie di integrale (che però integrale non è - conserva solo il simbolo).
Mi sono perso qualcosa ? Detto questo allora, se non è troppo complicato da spiegare, mi piacerebbe sapere che cos'è quest'oggetto che chiamo delta di dirac. Ho letto che è una distribuzione, ma non ho capito bene dalla spiegazione di Wikipedia (ho afferrato solo che le funzioni sono un sottoinsieme delle distribuzione, credo...)
- Parto dalla funzione $\delta_n(x)$ che è una semplice funzione a tratti.
- Faccio il limite per $n \rightarrow \infty$
- Quello che ottengo non è più una funzione perché in $0$ è presente una "singolarità" che non posso eliminare l, nel senso che è intrinseca a ciò che ho definito.
- Sebbene non ho più a che fare con una funzione conservo, almeno formalmente, alcune "proprietà", come appunto quella specie di integrale (che però integrale non è - conserva solo il simbolo).
Mi sono perso qualcosa ? Detto questo allora, se non è troppo complicato da spiegare, mi piacerebbe sapere che cos'è quest'oggetto che chiamo delta di dirac. Ho letto che è una distribuzione, ma non ho capito bene dalla spiegazione di Wikipedia (ho afferrato solo che le funzioni sono un sottoinsieme delle distribuzione, credo...)
No.
[list=1][*:344x48rb] Le funzioni \(\displaystyle \delta_n \) sono a tutti gli effetti delle funzioni (con una discontinuità eliminabile in \(\displaystyle 0 \)). Tra l'altro ho l'impressione che quelle \(\delta_n\) sono definite sbagliate, perché il loro limite, nel senso delle distribuzioni, non penso faccia \(\delta\). Insomma, se applichi il loro integrale alle funzioni test trovi sempre \(0\). Se non ricordo male, nella teoria delle distribuzioni si usano delle funzioni a supporto compatto, con una forma a campana e il cui integrale su \(\displaystyle \mathbb{R} \) è uguale a \(\displaystyle 1 \).[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Non fai quel limite perché quel limite non esiste nell'insieme delle funzioni da \(\mathbb{R}\) in se stesso.[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Non è per quello che non è una funzione reale, non è una funzione reale perché il suo valore in \(\displaystyle 0 \) non è un numero reale. Insomma tu non stai dicendo che \(\lim_{x\to 0} \delta(x) = \infty\), tu stai dicendo che \(\delta(0) = \infty\notin \mathbb{R}\). La differenza è piuttosto notevole. Nota infatti che, come funzione da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\), \(\lim_{x\to 0} \delta(x) = 0\)! Va comunque fatto notare che questa funzione non è esattamente il \(\delta\) di Dirac perché i calcoli dei famosi integrali con il \(\delta\) di Dirac richiederebbero di definire in modo preciso una misura su \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\) (di fatto la complessità della teoria delle distribuzioni la sposteresti all'interno del calcolo dell'integrale stesso).[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Quello sicuramente non è un integrale di Riemann.[/*:m:344x48rb][/list:o:344x48rb]
[list=1][*:344x48rb] Le funzioni \(\displaystyle \delta_n \) sono a tutti gli effetti delle funzioni (con una discontinuità eliminabile in \(\displaystyle 0 \)). Tra l'altro ho l'impressione che quelle \(\delta_n\) sono definite sbagliate, perché il loro limite, nel senso delle distribuzioni, non penso faccia \(\delta\). Insomma, se applichi il loro integrale alle funzioni test trovi sempre \(0\). Se non ricordo male, nella teoria delle distribuzioni si usano delle funzioni a supporto compatto, con una forma a campana e il cui integrale su \(\displaystyle \mathbb{R} \) è uguale a \(\displaystyle 1 \).[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Non fai quel limite perché quel limite non esiste nell'insieme delle funzioni da \(\mathbb{R}\) in se stesso.[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Non è per quello che non è una funzione reale, non è una funzione reale perché il suo valore in \(\displaystyle 0 \) non è un numero reale. Insomma tu non stai dicendo che \(\lim_{x\to 0} \delta(x) = \infty\), tu stai dicendo che \(\delta(0) = \infty\notin \mathbb{R}\). La differenza è piuttosto notevole. Nota infatti che, come funzione da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\), \(\lim_{x\to 0} \delta(x) = 0\)! Va comunque fatto notare che questa funzione non è esattamente il \(\delta\) di Dirac perché i calcoli dei famosi integrali con il \(\delta\) di Dirac richiederebbero di definire in modo preciso una misura su \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\) (di fatto la complessità della teoria delle distribuzioni la sposteresti all'interno del calcolo dell'integrale stesso).[/*:m:344x48rb]
[*:344x48rb] Quello sicuramente non è un integrale di Riemann.[/*:m:344x48rb][/list:o:344x48rb]
Magari mi sono espresso male, ma non mi sembrava di aver detto cose tanto diverse (a parte per il limite del punto 2). In ogni caso ho guardato questo argomento su un libro di analisi che non tratta le distribuzioni, quindi non so, magari le dimostrazioni sono un po' "alla carlona", nel senso che servono a dare un idea anche se non sono proprio formalmente corrette (tra l'altro è solo mezza pagina in tutto il libro).
Quella in \(0\) non è una singolarità. Il tuo libro sta cercando di spiegare \(\delta\) a persone che non hanno le competenze per comprenderlo. Puoi vedere \(\delta\) come una distribuzione o come una misura, in nessuno dei due casi è limite di quella successione.
A rigore, quella successione non converge a \(\delta\) neanche in \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\) se si usi la metrica standard di \(\mathbb{R}\). Converge se si usa la metrica finita \(d(x,y)=\lvert \arctan(x) -\arctan(y)\rvert\) dove ho esteso l'arco tangente in modo ovvio all'infinito. Insomma, con la metrica standard \(\max (\delta - \delta_n) = \infty\) per ogni \(n\).
Il considerarla come una funzione deriva probabilmente dal fatto che, date due misure \(\mu,\,\nu\) è alle volte possibile trovare una funzione \(f\) tale che \(\int_A\,d\mu = \int_Af\,d\nu\). Queste condizioni non sono però soddisfatte per il delta di Dirac e la misura standard. Se questa funzione esistesse, ma non esiste, dovrebbe avere una "massa" infinita in \(0\). Semplicemente i fisici preferiscono scrivere una non-funzione nell'integrale e far finta di fare un integrale di Labesgue piuttosto che dire che fanno l'integrale con la misura \(\delta\) o lavorare con la teoria delle distribuzioni.
A rigore, quella successione non converge a \(\delta\) neanche in \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}\) se si usi la metrica standard di \(\mathbb{R}\). Converge se si usa la metrica finita \(d(x,y)=\lvert \arctan(x) -\arctan(y)\rvert\) dove ho esteso l'arco tangente in modo ovvio all'infinito. Insomma, con la metrica standard \(\max (\delta - \delta_n) = \infty\) per ogni \(n\).
Il considerarla come una funzione deriva probabilmente dal fatto che, date due misure \(\mu,\,\nu\) è alle volte possibile trovare una funzione \(f\) tale che \(\int_A\,d\mu = \int_Af\,d\nu\). Queste condizioni non sono però soddisfatte per il delta di Dirac e la misura standard. Se questa funzione esistesse, ma non esiste, dovrebbe avere una "massa" infinita in \(0\). Semplicemente i fisici preferiscono scrivere una non-funzione nell'integrale e far finta di fare un integrale di Labesgue piuttosto che dire che fanno l'integrale con la misura \(\delta\) o lavorare con la teoria delle distribuzioni.
Grazie mille. Scusa l'insistenza, ma sono di natura un po' testarda
Consiglio di leggere questo paragrafo:
https://books.google.es/books?id=XehUpG ... &q&f=false
(Dirac, "Principles of quantum mechanics", §15). È qui che la "funzione" \(\delta\) è stata inventata. Quanto scritto qui non è rigoroso, ma in realtà molte delle idee sulle distribuzioni sono già mature. Schwartz ha solo dovuto passare con il cestino e raccogliere tutta la frutta.
https://books.google.es/books?id=XehUpG ... &q&f=false
(Dirac, "Principles of quantum mechanics", §15). È qui che la "funzione" \(\delta\) è stata inventata. Quanto scritto qui non è rigoroso, ma in realtà molte delle idee sulle distribuzioni sono già mature. Schwartz ha solo dovuto passare con il cestino e raccogliere tutta la frutta.
Grazie dell'approfondimento. Guarderò appena possibile !
La $delta$, se fosse una funzione, sarebbe caratterizzata da due proprietà incompatibili, cioè:
\[
\forall x\neq 0,\ \delta (x)=0
\]
ed:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\ \text{d} x =1\; .
\]
Tali proprietà sono incompatibili perché è ben noto che una funzione quasi ovunque nulla in $RR$ ha integrale nullo.
Tra l'altro, nemmeno porre $delta(0)=+oo$ sarebbe d'aiuto, perché è noto che il valore dell'integrale non cambia quando si modifica (in qualsiasi modo) una funzione su di un insieme di misura nulla.
Morale della favola: $delta$ non è una funzione nemmeno nei peggiori bar di Caracas.
Che si può fare per rimediare?
Almeno un paio di cose... Innanzitutto, si possono considerare successioni di funzioni che approssimano $delta$ ed eliminare il problema alla radice.
Oppure, si può considerare $delta$ come una misura atomica.
Oppure, ed è ciò che si fa nei problemi fisico-ingegneristici, si considera $delta$ come funzionale lineare su un opportuno spazio di funzioni.
\[
\forall x\neq 0,\ \delta (x)=0
\]
ed:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\ \text{d} x =1\; .
\]
Tali proprietà sono incompatibili perché è ben noto che una funzione quasi ovunque nulla in $RR$ ha integrale nullo.
Tra l'altro, nemmeno porre $delta(0)=+oo$ sarebbe d'aiuto, perché è noto che il valore dell'integrale non cambia quando si modifica (in qualsiasi modo) una funzione su di un insieme di misura nulla.
Morale della favola: $delta$ non è una funzione nemmeno nei peggiori bar di Caracas.
Che si può fare per rimediare?
Almeno un paio di cose... Innanzitutto, si possono considerare successioni di funzioni che approssimano $delta$ ed eliminare il problema alla radice.
Oppure, si può considerare $delta$ come una misura atomica.
Oppure, ed è ciò che si fa nei problemi fisico-ingegneristici, si considera $delta$ come funzionale lineare su un opportuno spazio di funzioni.
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