Perchè gli integrali curvilinei lungo curve opposte sono opposti?
Visto che c.e il teorema(*) che dice:
Date due curve regolari α e β equivalenti con sostegno Γ ⊂ A e data una funzione f:A→R.Allora
integrale lungo α di f ds = integrale lungo β di f ds
Ma una curva γ e la sua opposta γ- sono equivalenti poichè differiscono del cambio di parametro ϕ con ϕ'<0 ( ma il segno della sue derivata non ci interessa come si evince dalla dimostrazione del teorema (*) giusto?! )
Allora perchè integrale lungo γ di f ds = - integrale lungo γ- di f ds
Ovvero perchè gli integrali lungo i cammini opposti sono opposti nonostante γ γ- siano equivalenti ??
Sarà una stupidata ma non mi raccapezzo più..
Grazie in anticipo ragazzi
Date due curve regolari α e β equivalenti con sostegno Γ ⊂ A e data una funzione f:A→R.Allora
integrale lungo α di f ds = integrale lungo β di f ds
Ma una curva γ e la sua opposta γ- sono equivalenti poichè differiscono del cambio di parametro ϕ con ϕ'<0 ( ma il segno della sue derivata non ci interessa come si evince dalla dimostrazione del teorema (*) giusto?! )
Allora perchè integrale lungo γ di f ds = - integrale lungo γ- di f ds
Ovvero perchè gli integrali lungo i cammini opposti sono opposti nonostante γ γ- siano equivalenti ??
Sarà una stupidata ma non mi raccapezzo più..
Grazie in anticipo ragazzi
Risposte
ti propongo la dimostrazione che conosco.
consideriamo le curve $ alpha: [a,b] -> Omega $ e $ beta: [c,d] -> Omega $ . poichè per ipotesi le due curve sono equivalenti allora esiste un diffeomorfismo $ tau$ tra [a,b] e [c,d] tale che $alpha(t)= beta(tau(t))$. poichè le supponiamo con verso opposto allora si ha che $tau' < 0$. quest'ultima condizione ci dice che $tau(a)=d$ e $tau(b)=c$. per definizione di integrale curvilineo abbiamo:
$ int_(alpha) omega= int_(a)^(b) sum_(i=1)^(n) alpha_i(t) alpha'_i(t)dt = int_(a)^(b) sum_(i=1)^(n)beta_i(tau(t))beta'_i(tau(t))tau'(t)dt $
se adesso sostituiamo $ tau(t)=r $ l'integrale diventa
$ int_(tau(a))^(tau(b)) sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=int_(d)^(c) sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=-int_(c)^(d)sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=-int_(beta) omega $
e questo spiega il meno. spero sia chiaro!
consideriamo le curve $ alpha: [a,b] -> Omega $ e $ beta: [c,d] -> Omega $ . poichè per ipotesi le due curve sono equivalenti allora esiste un diffeomorfismo $ tau$ tra [a,b] e [c,d] tale che $alpha(t)= beta(tau(t))$. poichè le supponiamo con verso opposto allora si ha che $tau' < 0$. quest'ultima condizione ci dice che $tau(a)=d$ e $tau(b)=c$. per definizione di integrale curvilineo abbiamo:
$ int_(alpha) omega= int_(a)^(b) sum_(i=1)^(n) alpha_i(t) alpha'_i(t)dt = int_(a)^(b) sum_(i=1)^(n)beta_i(tau(t))beta'_i(tau(t))tau'(t)dt $
se adesso sostituiamo $ tau(t)=r $ l'integrale diventa
$ int_(tau(a))^(tau(b)) sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=int_(d)^(c) sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=-int_(c)^(d)sum_(i=1)^(n)beta_i(r)beta'_i(r)dr=-int_(beta) omega $
e questo spiega il meno. spero sia chiaro!
Ti do una risposta diversa da quella di cooper. Non perché la sua sia sbagliata, solo per offrirti un altro punto di vista.
Semplicemente, ci sono cose nel mondo reale per le quali il verso di percorrenza è importante. Per altre no. Gli esempi classici stra-abusati, sono:
- il lavoro compiuto durante uno spostamento: se cambi verso, cambia segno
- la massa di un filo tutto intorcinato, magari neanche omogeneo: se "cambi verso", resta uguale
E' per questo motivo che sono stati "inventati" due integrali diversi, quando si tratta di integrare "lungo una curva". Ed è stata sviluppata tutta una liturgia definitoria per poi far le cose per bene (vedi cooper).
Sono stato molto sintetico, in parte perché è tardi ed ho sonno, in parte perché credo possa essere utile per te che tu cerchi di sviluppare per bene quale che ho sinteticamente scritto.
Quanto alla confusione che hai in testa, passerà. E' capitato a tanti (a me no su questo argomento, ma su altri sì!), la "fase di smarrimento" è un ingrediente col quale ogni tanto viene condito l'apprendimento.
Semplicemente, ci sono cose nel mondo reale per le quali il verso di percorrenza è importante. Per altre no. Gli esempi classici stra-abusati, sono:
- il lavoro compiuto durante uno spostamento: se cambi verso, cambia segno
- la massa di un filo tutto intorcinato, magari neanche omogeneo: se "cambi verso", resta uguale
E' per questo motivo che sono stati "inventati" due integrali diversi, quando si tratta di integrare "lungo una curva". Ed è stata sviluppata tutta una liturgia definitoria per poi far le cose per bene (vedi cooper).
Sono stato molto sintetico, in parte perché è tardi ed ho sonno, in parte perché credo possa essere utile per te che tu cerchi di sviluppare per bene quale che ho sinteticamente scritto.
Quanto alla confusione che hai in testa, passerà. E' capitato a tanti (a me no su questo argomento, ma su altri sì!), la "fase di smarrimento" è un ingrediente col quale ogni tanto viene condito l'apprendimento.
Scusate il ritardo e grazie mille ragazzi 
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