Perchè ci sono tanti "infiniti" (in mate)?
Scusate, mi sapreste dare una risposta esauriente e chiara come se dovessi trattare la questione con dei ragazzi delle scuole superiori? 
Grazie
Grazie
Risposte
ai ragazzi ipotetici racconterei la storia dell' Hotel di Hilbert( http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_ ... di_Hilbert ) per cominciare...
a che infiniti fai riferimento?
Al discorso, aleph-0, aleph-1,...
Beh una osservazione terra-terra è che dato un numero cardinale, ce n'è uno maggiore di lui, grazie al paradosso solito, quindi servono infiniti numeri cardinali non-finiti
serve almeno la nozione di cardinalità di un insieme e di funzione bigettiva, dopodichè fai vedere che non esiste una bigettiva $QQ->RR$ quindi $RR$ ha infinito di grado maggiore...
Per spiegare in modo comprensibile ai ragazzi del liceo questo fatto, si deve innanzitutto spiegare almeno il significato di: applicazione suriettiva, iniettiva, biiettiva; insieme infinito e finito; insieme delle parti; successione; procedura ricorsiva.
Da buoni matematici, immaginiamo che ciò sia stato fatto.
Ovviamente tutto discende dal noto risultato di Cantor:
La verifica è semplice per gli insiemi finiti: infatti, se $X=\{ 1,\ldots ,n\}$ ha $n$ elementi allora $\ccP (X)$ ha esattamente $2^n$ elementi e si vede che $"card"(X)=n<2^n="card"(\ccP(X))$ (qui sarebbe grazioso notare che la disuguaglianza stretta vale pure se $X=\emptyset$)...
Il teorema citato dice che la stessa relazione $"card"(X)<"card"(\ccP(X))$ è valida per insiemi qualsiasi (se è intesa come un modo sintetico di esprimere la proposizione in corsivo nel Teorema di Cantor), quindi anche per gli insiemi infiniti.
Se si fissa un $X$ infinito si ha quindi $"card" (X)<"card"(\ccP(X))$ e però pure $"card" (\ccP(X))<"card"(\ccP(\ccP(X)))$ e pure $"card" (\ccP(\ccP(X)))<"card"(\ccP(\ccP(\ccP(X))))$... cosicché si può scrivere la "catena infinita" di disuguaglianze:
$\quad "card" (X)<"card"(\ccP(X))<"card"(\ccP(\ccP(X)))<"card"(\ccP(\ccP(\ccP(X))))<\cdots$
in cui tutti gli insiemi $X,\ccP(X),\ccP(\ccP(X)),\ccP(\ccP(\ccP(X))),\ldots$ sono infiniti ed ognuno di essi si può "immergere" (usando un'applicazione iniettiva) nel successivo.
In termini più precisi, si può dire che il Teorema di Cantor fornisce una semplice "procedura ricorsiva" (nel senso che si ripete sempre la stessa operazione ad ogni passo, seppur con dati in ingresso diversi) per generare insiemi sempre "più grandi" a partire da un fissato insieme iniziale $X$: nel caso $X$ sia infinito, la procedura genera insiemi infiniti in cui ogni termine ha strettamente più elementi del precedente.
Se l'insieme iniziale $X$ è l'insieme dei numeri naturali $NN$ (od un qualsiasi insieme numerabile) agli infiniti $"card"(NN)$, $"card"(\ccP(NN))$, $"card"(\ccP(\ccP(NN)))$, etc. si preferisce assegnare dei nomi: allora si pone $\aleph_0:="card"(NN)$, $\aleph_1:="card"(\ccP(NN))$, $\aleph_2:="card"(\ccP(\ccP(NN)))$, etc.
In particolare si prova che $"card"(RR)=\aleph_1$.
Da buoni matematici, immaginiamo che ciò sia stato fatto.
Ovviamente tutto discende dal noto risultato di Cantor:
Assegnato un insieme $X$, l'insieme delle parti di $X$ (denotato col simbolo $\ccP (X)$) ha cardinalità maggiore di $X$, nel senso che esiste un'applicazione iniettiva di $X$ in $\ccP (X)$ ma non ne esiste nessuna di $\ccP (X)$ in $X$.
La verifica è semplice per gli insiemi finiti: infatti, se $X=\{ 1,\ldots ,n\}$ ha $n$ elementi allora $\ccP (X)$ ha esattamente $2^n$ elementi e si vede che $"card"(X)=n<2^n="card"(\ccP(X))$ (qui sarebbe grazioso notare che la disuguaglianza stretta vale pure se $X=\emptyset$)...
Il teorema citato dice che la stessa relazione $"card"(X)<"card"(\ccP(X))$ è valida per insiemi qualsiasi (se è intesa come un modo sintetico di esprimere la proposizione in corsivo nel Teorema di Cantor), quindi anche per gli insiemi infiniti.
Se si fissa un $X$ infinito si ha quindi $"card" (X)<"card"(\ccP(X))$ e però pure $"card" (\ccP(X))<"card"(\ccP(\ccP(X)))$ e pure $"card" (\ccP(\ccP(X)))<"card"(\ccP(\ccP(\ccP(X))))$... cosicché si può scrivere la "catena infinita" di disuguaglianze:
$\quad "card" (X)<"card"(\ccP(X))<"card"(\ccP(\ccP(X)))<"card"(\ccP(\ccP(\ccP(X))))<\cdots$
in cui tutti gli insiemi $X,\ccP(X),\ccP(\ccP(X)),\ccP(\ccP(\ccP(X))),\ldots$ sono infiniti ed ognuno di essi si può "immergere" (usando un'applicazione iniettiva) nel successivo.
In termini più precisi, si può dire che il Teorema di Cantor fornisce una semplice "procedura ricorsiva" (nel senso che si ripete sempre la stessa operazione ad ogni passo, seppur con dati in ingresso diversi) per generare insiemi sempre "più grandi" a partire da un fissato insieme iniziale $X$: nel caso $X$ sia infinito, la procedura genera insiemi infiniti in cui ogni termine ha strettamente più elementi del precedente.
Se l'insieme iniziale $X$ è l'insieme dei numeri naturali $NN$ (od un qualsiasi insieme numerabile) agli infiniti $"card"(NN)$, $"card"(\ccP(NN))$, $"card"(\ccP(\ccP(NN)))$, etc. si preferisce assegnare dei nomi: allora si pone $\aleph_0:="card"(NN)$, $\aleph_1:="card"(\ccP(NN))$, $\aleph_2:="card"(\ccP(\ccP(NN)))$, etc.
In particolare si prova che $"card"(RR)=\aleph_1$.
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