Perchè Banach-Steinhaus non si può dimostrare così?

[Fox4]

Scusatemi per quello che sto per dire che forse alcuni di voi prenderanno come un affronto personale!!!
Dov'è l'errore?

Th di Banach-Steinhaus:
Sia $X$ spazio di Banach e sia ${F_i}_{i\inJ}$ una famiglia qualunque di funzionali lineari continui : $X->RR$
tali che $Sup_{i\inJ}|F_i(x)|<+\infty \ \ \forallx\in X$
Allora $\ \ =>\ \ Sup_{i\inJ}||F_i||<+\infty

Dim.
Sia $G:X->RR$ definita $G(x):=Sup_{i\inJ}|F_i(x)|$

Ora $||G||=Sup_{||x||=1}{Sup_{i\inJ}|F_i(x)|}<+\infty$ per Hp

$||F_i||=Sup_{||x||=1}|F_i(x)|<=$ | dato che $F_i$ è sempre $<=G\ \ \forallx$ |

$<=Sup_{||x||=1}|G(x)|=||G||$.

Adesso, dato che $||G||>=||F_i||\ \ \foralli$
$||G||>=Sup_{i\inJ}||F_i||$
perciò la tesi.


P.S. ma ora che mi viene in mente, due Sup di fila si possono scambiare? Sennò si potrebbe eliminare qualche passaggio...

[misanino]

"Fox":
Sia $G:X->RR$ definita $G(x):=Sup_{i\inJ}|F_i(x)|$

Ora $||G||=Sup_{||x||=1}{Sup_{i\inJ}|F_i(x)|}<+\infty$ per Hp

L'errore è qui.
Infatti il fatto che ${Sup_{i\inJ}|F_i(x)|}<+\infty$ $AAx$
non significa che anche $Sup_{||x||=1}{Sup_{i\inJ}|F_i(x)|}<+\infty$.
Quando fai il $Sup_{||x||=1}$ non puoi essere certo che tale sup sia ancora minore di infinito

[Fox4]

il sup di un insieme di numeri tutti strettamente minori di infinito può essere infinito?
Come è possibile?

Oddio, che abbaglio che ho preso...

[misanino]

"Fox":il sup di un insieme di numeri tutti strettamente minori di infinito può essere infinito?
Come è possibile?

Oddio, che abbaglio che ho preso...

Ad esempio se l'insieme di numeri è $1,2,3,4,5,6,.....$
allora sono tutti minori di infinito ma il sup è infinito

[Fox4]

[misanino]

Simpatico!!
Credo quindi che tu abbia capito.
Bene.
Alla prossima

[gugo82]

Altro esempio.
Prendi:

[tex]$f_n(t):=n\ \chi_{\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n} \right]} (t) =\begin{cases} 0 &\text{, se $x\notin [-\frac{1}{n} ,\frac{1}{n}]$} \\ n &\text{, se $x\in [-\frac{1}{n} ,\frac{1}{n}]$}\end{cases}$[/tex];

chiaramente è:

[tex]$\sup_{n\in \mathbb{N}} f_n(t) =\begin{cases}0 &\text{, se $|t|>1$} \\ \nu &\text{, se $\nu \in \mathbb{N}$ e $\frac{1}{\nu +1} <|t|\leq \frac{1}{\nu}$}\end{cases}$[/tex]

e quindi [tex]$\sup_{t\in \mathbb{R}} \sup_{n\in \mathbb{N}} f_n(t)=+\infty$[/tex].

Ora, se non vuoi fermarti qui, ma vuoi proprio le cose fatte per bene con l'estremo superiore preso su una sfera unitaria, per [tex]$x\in \mathbb{R}^2$[/tex] poni:

[tex]$\varphi_n(x)=\begin{cases} 0 &\text{, se $|x|\neq 1$} \\ f_n \left( \frac{\vartheta (x)}{\pi} \right) &\text{, se $|x|=1$}\end{cases}$[/tex]

in cui [tex]$\vartheta (x) \in ]-\pi ,\pi]$[/tex] è tale che [tex]$x=(\cos \vartheta (x), \sin \vartheta (x))$[/tex]; in tal caso:

[tex]$\sup_n \varphi_n(x)=\begin{cases} \nu &\text{, se $|x|=1$ e $\frac{\pi }{\nu +1} <|\vartheta (x)|\leq \frac{\pi}{\nu}$} \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex]

perciò:

[tex]$\sup_{|x|=1} \sup_n \varphi_n(x) =+\infty$[/tex].

Va da sé che le funzioni [tex]$\varphi_n$[/tex] non le posso scegliere lineari, altrimenti violerei il teorema di B-S.

[Fox4]

Grazie degli esempi. Tutto chiaro!

Ciao