Perché ${|1+h*z|<1}$ $=$ ${0<h<-2*(Re(z))/|z|^2 }$ ?

[billytalentitalianfan]

Salve,
qualcuno sa coma mai l'insieme $|1+h*z|<1$ con zeta complesso e h reale, coincide con l'insieme $0
Grazie per l'aiuto!

[gugo82]

Posto \(z=x+\imath\ y\) per semplicità, calcolando esplicitamente trovi:
\[
|1+h\ z|^2 = (1+hx)^2+h^2y^2 = (x^2+y^2)\ h^2 + 2x\ h+1 = |z|^2\ h^2 + 2\operatorname{Re}(z)\ h+1\; ;
\]
dunque la disuguaglianza \( |1+h\ z| < 1\) è del tutto equivalente a:
\[
|z|^2\ h^2 + 2\operatorname{Re}(z)\ h+1 <1 \qquad \Leftrightarrow \qquad |z|^2\ h^2 +2\operatorname{Re}(z)\ h < 0
\]
che è di secondo grado in \(h\) e la sai risolvere dalle superiori.

[ciampax]

Secondo me comunque va scritta meglio:

$0
$-2{Re(z)}/{|z|^2}0$

Nessuna soluzione se $Re(z)=0$.

[billytalentitalianfan]

In effetti avrei potuto "spremermi" un po' di più..grazie mille!