Per quali valori l'equazione ha due soluzioni?
Sto cercando di svolgere il seguente esercizio invano:
Allora, suppongo che questo esercizio vada risolto confrontando graficamente le due funzioni a sinistra e a destra dell'uguale e vedendo per quali valori del parametro queste si intersecano in due punti.
Ho calcolato i limiti alla frontiera del dominio di $y=2xe^{\frac{1}{x}}$ e credo di avere una vaga idea di come sia fatta la funzione.
Anche la retta credo di capire come cambi al variare di $a$, nonostante questo non mi è chiaro come stabilire per quali valori si intersecano.
Devo stabilire per quali $a$ i due grafici sono tangenti? Per farlo basta eguagliare le derivate delle due funzioni?
Grazie mille a tutti in anticipo
Per quali valori $a \in RR$ l'equazione $a(2x+1)=2xe^{\frac{1}{x}}$ ammette due soluzioni?
Allora, suppongo che questo esercizio vada risolto confrontando graficamente le due funzioni a sinistra e a destra dell'uguale e vedendo per quali valori del parametro queste si intersecano in due punti.
Ho calcolato i limiti alla frontiera del dominio di $y=2xe^{\frac{1}{x}}$ e credo di avere una vaga idea di come sia fatta la funzione.
Anche la retta credo di capire come cambi al variare di $a$, nonostante questo non mi è chiaro come stabilire per quali valori si intersecano.
Devo stabilire per quali $a$ i due grafici sono tangenti? Per farlo basta eguagliare le derivate delle due funzioni?
Grazie mille a tutti in anticipo
Risposte
Ciao zariski,
non ho soluzioni, solo domande.
Hai detto che hai un'idea di come è fatta la funzione $f(x)=2xe^(1/x)$, a me viene fuori fatta di due rami: uno nel I quadrante e l'altro nel III, è così anche per te?
non ho soluzioni, solo domande.
Hai detto che hai un'idea di come è fatta la funzione $f(x)=2xe^(1/x)$, a me viene fuori fatta di due rami: uno nel I quadrante e l'altro nel III, è così anche per te?
Esattamente.
$
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \ \
\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 0, \ \
\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty, \ \
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
$
Inoltre la derivata si annulla solo in $x=1$ quindi lì deve esserci un minimo.
Comunque è un esercizio da pochi punti di un tema d'esame di analisi 1, non dovrebbe essere richiesto nessuno strumento avanzato, eppure non ho la minima idea di come farlo
$
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \ \
\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 0, \ \
\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty, \ \
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
$
Inoltre la derivata si annulla solo in $x=1$ quindi lì deve esserci un minimo.
Comunque è un esercizio da pochi punti di un tema d'esame di analisi 1, non dovrebbe essere richiesto nessuno strumento avanzato, eppure non ho la minima idea di come farlo
Ciao, anche io ho provato a fare l'esercizio e ho ottenuto gli stessi risultati da voi riportati per $h(x) = 2xe^(1/x)$.
Ho notato che il grafico di $h$ presenta un asintoto obliquo, la retta $y=2x+2$ se non ho sbagliato i calcoli. Ho dedotto che la retta $y=2ax+a$ interseca il grafico di $h$ in due punti se la sua pendenza è superiore di quella dell'asintoto, e facendo i calcolini mi viene $a>1$ (ho ovviamente notato che se $a<0$ tale retta non passa nel I quadrante)
Che ne dite?
Ho notato che il grafico di $h$ presenta un asintoto obliquo, la retta $y=2x+2$ se non ho sbagliato i calcoli. Ho dedotto che la retta $y=2ax+a$ interseca il grafico di $h$ in due punti se la sua pendenza è superiore di quella dell'asintoto, e facendo i calcolini mi viene $a>1$ (ho ovviamente notato che se $a<0$ tale retta non passa nel I quadrante)
Che ne dite?
La funzione $2xe^(1/x)$ praticamente da subito è parallela a $2x+1$ quindi in pratica qualsiasi retta con coefficiente maggiore di $2$ "incrocerà" l'altra ...
Allora, vi ringrazio tutti per le risposte.
Ho provato a rifare l'esercizio col suggerimento di Ziben del considerare l'asintoto (non ci avevo pensato
).
Come dice lui mi accorgo graficamente che per $a<0$ non c'è nessuna intersezione però a me viene che deve essere $a>2$ affinché ci sia intersezione come invece dice axpgn.
Ciononostante non mi torna che la funzione "è fin da subito parallela a $2x +1$", a me viene che l'asintoto ha equazione $y= 2x +2$, forse ti è partita una parentesi digitando e intendevi $2(x+1)$, in tal caso mi torna.
Ho provato a rifare l'esercizio col suggerimento di Ziben del considerare l'asintoto (non ci avevo pensato
).Come dice lui mi accorgo graficamente che per $a<0$ non c'è nessuna intersezione però a me viene che deve essere $a>2$ affinché ci sia intersezione come invece dice axpgn.
Ciononostante non mi torna che la funzione "è fin da subito parallela a $2x +1$", a me viene che l'asintoto ha equazione $y= 2x +2$, forse ti è partita una parentesi digitando e intendevi $2(x+1)$, in tal caso mi torna.
Scusami ma secondo te $2x+1$ e $2x+2$ non sono parallele? Non confondere asintoticità con parallelismo, il primo è sinonimo di "quasi equivalenza", richiede qualcosa in più del parallelismo ...
Ops, hai ragione, errore mio. Ma a questo punto toglimi una curiosità, perché hai scritto proprio $2x +1$?
C'è qualcosa che mi sfugge? Io per capire quale fosse l'equazione dell'asintoto ho usato il metodo tradizionale del calcolare i due limiti che mi danno la pendenza e la quota, anche se in verità a questo punto mi rendo conto che potevo vedere "ad occhio" la pendenza dell'asintoto siccome $\lim_{x \to +\infty} \frac{2xe\frac{1}{x}}{2x} = 1$ (ha senso vero?).
C'è qualcosa che mi sfugge? Io per capire quale fosse l'equazione dell'asintoto ho usato il metodo tradizionale del calcolare i due limiti che mi danno la pendenza e la quota, anche se in verità a questo punto mi rendo conto che potevo vedere "ad occhio" la pendenza dell'asintoto siccome $\lim_{x \to +\infty} \frac{2xe\frac{1}{x}}{2x} = 1$ (ha senso vero?).
"zariski":
Ma a questo punto toglimi una curiosità, perché hai scritto proprio $2x +1$?
Perché è scritto nel testo ...
Riassumo: $e^(1/x)$ "quasi" subito diventa "quasi" uno quindi $2xe^(1/x)$ diventa "quasi" subito asintotica a $2x$ e quindi asintotica a $2x+1$; di conseguenza se $a=1$ le due funzioni correrebbero parallele senza incontrarsi mai; trovato l'asintoto, noti che questo "sta" più in alto di $2x+1$ quindi affinché si intersechino dobbiamo alzare la pendenza di quest'ultima perciò basta assumere $a>1$ (a rigore si dovrebbe trovare l'asintoto dell'altro ramo perché se anch'esso fosse più in "alto" non ci sarebbe soluzione)
Ciao zariski,
Credo che l'esercizio sia più semplice di quanto immagini: assomiglia ad alcuni esercizi che il mio compianto professore di matematica del liceo scientifico ci faceva risolvere sul testo di Giuseppe Zwirner... Se si divide tutto per $ 2x + 1 $ (cosa che si può fare se $ x \ne - \frac{1}{2} $, ma d'altronde si vede subito che $ x = - \frac{1}{2} $ non può essere una soluzione), si ottiene il problema equivalente seguente:
$\{(y = a),(y = \frac{2x \cdot e^{\frac{1}{x}}}{2x+1}):}$
cioè in pratica si tratta di determinare le intersezioni della funzione $ y = f(x) = \frac{2x \cdot e^{\frac{1}{x}}}{2x+1} $ con la retta orizzontale $ y = a $.
Non è difficile determinare il grafico della funzione $ f(x) $ (per farlo velocemente si può usare ad esempio WolframAlpha).
Certamente $ y = 1 $ è un asintoto orizzontale per la funzione $ f(x) $, dato che $ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $; siccome poi sotto tale asintoto orizzontale la funzione $ f(x) $ presenta un solo ramo, non ci possono essere le due soluzioni richieste che invece sussistono solo sopra l'asintoto orizzontale, cioè solo per $ a > 1 $.
Credo che l'esercizio sia più semplice di quanto immagini: assomiglia ad alcuni esercizi che il mio compianto professore di matematica del liceo scientifico ci faceva risolvere sul testo di Giuseppe Zwirner... Se si divide tutto per $ 2x + 1 $ (cosa che si può fare se $ x \ne - \frac{1}{2} $, ma d'altronde si vede subito che $ x = - \frac{1}{2} $ non può essere una soluzione), si ottiene il problema equivalente seguente:
$\{(y = a),(y = \frac{2x \cdot e^{\frac{1}{x}}}{2x+1}):}$
cioè in pratica si tratta di determinare le intersezioni della funzione $ y = f(x) = \frac{2x \cdot e^{\frac{1}{x}}}{2x+1} $ con la retta orizzontale $ y = a $.
Non è difficile determinare il grafico della funzione $ f(x) $ (per farlo velocemente si può usare ad esempio WolframAlpha).
Certamente $ y = 1 $ è un asintoto orizzontale per la funzione $ f(x) $, dato che $ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $; siccome poi sotto tale asintoto orizzontale la funzione $ f(x) $ presenta un solo ramo, non ci possono essere le due soluzioni richieste che invece sussistono solo sopra l'asintoto orizzontale, cioè solo per $ a > 1 $.
Ciao zariski,
Scusa, mi auto-correggo: derivando la funzione $ f(x) $ in questione si vede che essa presenta un minimo in $ x = - 1 $ che vale $ y = 2/e $, per cui si hanno:
- 2 soluzioni reali e coincidenti per $ a = 2/e $;
- 2 soluzioni reali e distinte per $ a > 2/e $, $ a \ne 1 $
Scusa, mi auto-correggo: derivando la funzione $ f(x) $ in questione si vede che essa presenta un minimo in $ x = - 1 $ che vale $ y = 2/e $, per cui si hanno:
- 2 soluzioni reali e coincidenti per $ a = 2/e $;
- 2 soluzioni reali e distinte per $ a > 2/e $, $ a \ne 1 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo