Per quali valori di $alpha$ l'integrale generaliz converge?
determinare per quali valori di alfa appartenente a R+ il seguente integrale generalizzato converge
$ int_(1)^(oo) ((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t^(2)-1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) dt $
abbiamo che
$((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t^(2)-1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) = ((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha))$
inizierei a verificare l'integrabilita ponendo $ t_0 >1 $ con $ t in (1,t_o] $
$C_1(alpha)t_0/(t-1)^(alpha/2)leqt^(-1/2)/((t-1)^(1/2alpha)(t_0+1)^(1/2alpha)(1/2+t_0)^(1/2alpha))leq((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) leq (3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha))leq C_2(alpha)1/(t-1)^(alpha/2)$
quindi converge se e solo se $alpha/2<1 $ e quindi $alpha< 2$
quindi :
1) al numeratore per $t ->oo $ il sen ha limiti +1 -1 e sostituendo abbiamo ottenuto rispettivamente a destrra $3t^(-1/2)$ e a sinistra $t^(-1/2)$.fino a qui penso sia corretto.
2) al denominatore invece non ho capito perche a destra ,alla t abbiam sostituito l'$1$ ottenendo $(t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha)$ e a sinistra alla t abbiamo sostituito il $t_0$ottenendo $(t-1)^(1/2alpha)(t_0+1)^(1/2alpha)(1/2+t_0)^(1/2alpha)$
3) perche $(3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha))$ lo si puo' semplificare e quindi risulta minore o uguale ad $C_2(alpha)1/(t-1)^(alpha/2)$ ?
$ int_(1)^(oo) ((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t^(2)-1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) dt $
abbiamo che
$((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t^(2)-1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) = ((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha))$
inizierei a verificare l'integrabilita ponendo $ t_0 >1 $ con $ t in (1,t_o] $
$C_1(alpha)t_0/(t-1)^(alpha/2)leqt^(-1/2)/((t-1)^(1/2alpha)(t_0+1)^(1/2alpha)(1/2+t_0)^(1/2alpha))leq((sin(1/2t)+2)t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) leq (3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha))leq C_2(alpha)1/(t-1)^(alpha/2)$
quindi converge se e solo se $alpha/2<1 $ e quindi $alpha< 2$
quindi :
1) al numeratore per $t ->oo $ il sen ha limiti +1 -1 e sostituendo abbiamo ottenuto rispettivamente a destrra $3t^(-1/2)$ e a sinistra $t^(-1/2)$.fino a qui penso sia corretto.
2) al denominatore invece non ho capito perche a destra ,alla t abbiam sostituito l'$1$ ottenendo $(t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha)$ e a sinistra alla t abbiamo sostituito il $t_0$ottenendo $(t-1)^(1/2alpha)(t_0+1)^(1/2alpha)(1/2+t_0)^(1/2alpha)$
3) perche $(3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(2)^(1/2alpha)(3/2)^(1/2alpha))$ lo si puo' semplificare e quindi risulta minore o uguale ad $C_2(alpha)1/(t-1)^(alpha/2)$ ?
Risposte
Sbaglio o questo stesso esercizio è stato già postato un paio di giorni fa?!?
si e non avendo ottenuto risposte,ho cancellato il precedente perche ho pensato che la tesi precedente era sbagliata e l'ho riformulato in quest'altro post
risolto?
no...mi aiuti tu?
il problema e' che servirebbe anche a me comprendere maggiormente gli integrali generalizzati.
se partiamo dal presupposto che la $t ->oo$ al denomintatore bisogna prendere i termini piu grandi,ma essendo tutte t di ugual grado non capisco perche' sostituisci 1 solo ad alcune.
io procederei cosi:
$ (3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) $ per $t->00$ e' approssimato a $ (3t^(-1/2))/(t^(1/2alpha) t^(1/2alpha) t^(1/2alpha))$ = $(t^(-1/2))/(t^(3/2alpha)) $ = $ 1/t^(3/2alpha + 1/2) $ quindi $3/2alpha + 1/2 > 1 $ quindi $alpha > 1/3 $
sara' cosi?
se partiamo dal presupposto che la $t ->oo$ al denomintatore bisogna prendere i termini piu grandi,ma essendo tutte t di ugual grado non capisco perche' sostituisci 1 solo ad alcune.
io procederei cosi:
$ (3t^(-1/2))/((t-1)^(1/2alpha)(t+1)^(1/2alpha)(1/2+t)^(1/2alpha)) $ per $t->00$ e' approssimato a $ (3t^(-1/2))/(t^(1/2alpha) t^(1/2alpha) t^(1/2alpha))$ = $(t^(-1/2))/(t^(3/2alpha)) $ = $ 1/t^(3/2alpha + 1/2) $ quindi $3/2alpha + 1/2 > 1 $ quindi $alpha > 1/3 $
sara' cosi?
scusa ma sinceramente mi hai confuso ancora di piu' le idee
scusa allora fai finta che non ho scritto niente
ok non ti preoccupare,apprezzo il tentativo di aiutarmi
Il ragionamento di mascalzonelatino è più comodo rispetto a quello di usare disuguaglianze: quando vuoi determinare la convergenza di integrali, conviene sempre usare i confronti locali. Ora però fai attenzione: qui i problemi non si hanno solo a infinito, ma anche in 1, dove il denominatore si annulla. Per prima cosa osserva che il termine tra parentesi a numeratore è una quantità sempre compresa tra 1 e 3 (perché?), per cui puoi sostituirlo con una costante [tex]$c\in[1,3]$[/tex]. Consideriamo ora cosa accade quando [tex]$t\to+\infty$[/tex] in tal caso
[tex]$\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t^2-1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}\sim\frac{c t^{-1/2}}{t^\alpha\cdot t^{\alpha/2}}=\frac{c}{t^{(3\alpha+1)/2}}$[/tex] (considerando le potenze più grandi a numeratore e denominatore).
Dal momento che [tex]$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^\beta}\ dx<\infty\ \Leftrightarrow\ \beta>1$[/tex] basta imporre che la potenza trovata (dipendente da alfa) sia minore di 1, quindi [tex]$\frac{3\alpha+1}{2}>1\ \Rightarrow\ \alpha>\frac{1}{3}$[/tex].
Per quanto riguarda [tex]$t\to 1^+$[/tex] possiamo scrivere
[tex]$\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t^2-1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}=\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t-1)^{\alpha/2}\cdot(t+1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}\sim\frac{c}{(t-1)^{\alpha/2}\cdot 2^{\alpha/2}\cdot(3/2)^{\alpha/2}}=\frac{C}{(t-1)^{\alpha/2}}$[/tex]
avendo incorporato tutte le costanti in una sola. Ora, dal momento che [tex]$\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^\beta}\ dx<\infty\ \Leftrightarrow\ \beta<1$[/tex], basta porre [tex]$\frac{\alpha}{2}<1\ \Rightarrow\ \alpha<2$[/tex]
In definitiva, prendendo tutti e due i risultati, risulta che l'integrale converge per [tex]$\frac{1}{3}<\alpha<2$[/tex].
[tex]$\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t^2-1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}\sim\frac{c t^{-1/2}}{t^\alpha\cdot t^{\alpha/2}}=\frac{c}{t^{(3\alpha+1)/2}}$[/tex] (considerando le potenze più grandi a numeratore e denominatore).
Dal momento che [tex]$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^\beta}\ dx<\infty\ \Leftrightarrow\ \beta>1$[/tex] basta imporre che la potenza trovata (dipendente da alfa) sia minore di 1, quindi [tex]$\frac{3\alpha+1}{2}>1\ \Rightarrow\ \alpha>\frac{1}{3}$[/tex].
Per quanto riguarda [tex]$t\to 1^+$[/tex] possiamo scrivere
[tex]$\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t^2-1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}=\frac{(\sin(t/2)+2)\cdot t^{-1/2}}{(t-1)^{\alpha/2}\cdot(t+1)^{\alpha/2}\cdot(1/2+t)^{\alpha/2}}\sim\frac{c}{(t-1)^{\alpha/2}\cdot 2^{\alpha/2}\cdot(3/2)^{\alpha/2}}=\frac{C}{(t-1)^{\alpha/2}}$[/tex]
avendo incorporato tutte le costanti in una sola. Ora, dal momento che [tex]$\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^\beta}\ dx<\infty\ \Leftrightarrow\ \beta<1$[/tex], basta porre [tex]$\frac{\alpha}{2}<1\ \Rightarrow\ \alpha<2$[/tex]
In definitiva, prendendo tutti e due i risultati, risulta che l'integrale converge per [tex]$\frac{1}{3}<\alpha<2$[/tex].
vediamo se ho capito
il seno varia tra -1 e 1 , col +2 diventa una quantita' compresa tra 1 e 3.
per $t\to +\infty $ mi e' tutto chiaro
per $t\to 1^+ $ invece abbiamo sostituito il valore 1 alle t rendendole tutte costanti e incorporandole in una sola,tranne ad $(t-1)^(alpha/2) $ che altrimenti annullerebbe il denominatore
il seno varia tra -1 e 1 , col +2 diventa una quantita' compresa tra 1 e 3.
per $t\to +\infty $ mi e' tutto chiaro
per $t\to 1^+ $ invece abbiamo sostituito il valore 1 alle t rendendole tutte costanti e incorporandole in una sola,tranne ad $(t-1)^(alpha/2) $ che altrimenti annullerebbe il denominatore
Esatto.
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