Per quali valori di a risulta sommabile la funzione ???

[alexfin90]

Salve a tutti sono alle prese con esercizi di analisi matematica 1 a breve dovrò fare l'esame scritto e i dubbi non mancano...
Vi propongo questo esercizio e il mio svolgimento.

Dire per quali valori del parametro reale a risulta sommabile in [e;+infinito[ la
seguente funzione:



f(x) = $ 1/( x^a |ln x|^3) $


ecco come ho fatto io
CE della funzione x>0 e x!=1

$ lim_x->1+ f(x) = +oo $



vedo se sommabile confronto con $ 1/(x-1)^3$

$limx->1+ (x-1)^3 * 1/( x^a * ( |logx|^3 / (x-1)^3 ) * (x-1)^3) = 1$




il limite mi viene 1 perchè

$lim x->1+ |logx|^3 / (x-1)^3 =1 $

$ lim x->1+ x^a =1 $


di conseguenza la funzione per ogni a va come 1/(x-1)^3 che è non sommabile quindi non è sommabile nell' intervallo [e,+infinito]

Aspetto una vostra risposta sperando che quanto fatto sia esatto.

[ciampax]

Ma cosa te ne fai del valore in $1$ che neanche sta all'interno dell'intervallo di integrazione? L'unico problema ce l'hai a $+\infty$. Come ragioni?

[alexfin90]

scusa ma se viene non sommabile a 1+ come puo' essere sommabile in un intervallo che inizia da e?

[alexfin90]

aaaaa dici devo guardare direttamente a +infinito e vedere se sommabile li se lo è li lo è già in tutto l intervallo [e,+infinito] ???

[alexfin90]

Ho fatto come dice lei guardando solo a + infinito mi può confermare se il risultato è
a<=1 integrabile ma non sommabile
per a>1 sommabile ed integrabile

grazie

[ciampax]

Vorrei capire come hai fatto a risolverlo, più che altro.