Per quali alpha la funzione è regolare a tratti
Ho qualche dubbio su questo esercizio:
Dire per quali valori del parametro $ \alpha $ reale, la funzione $ f(t) $, periodica di periodo $ \pi $, definita in $ [0,\pi) $
nel modo seguente, è regolare a tratti.
$ f(t) = \|sin\|^(\alpha) $ per $ 0 < t < \pi $
$ f(t) = 1 $ per $ t = 0 $
(Scusate non do dimestichezza nel fare i sistemi in LaTex xD)
Allora. Funzione regolare a tratti. Una funzione si dice regolare a tratti in un intervallo $ [a,b] $ se esiste una suddivisione
di questo intervallo del tipo $ a = x_0 < x_1 < .... < x_n = b $ tale che, per ogni $ i = 0,1,2,...,n-1 $ la funzione è derivabile con derivata continua negli intervalli $ (x_i, x_(i+1)) $ e nei punti $ x_i $ ha al più discontinuità di tipo salto od eliminabili ed in tali punti ha derivata destra e sinistra finita.
Per $ \alpha = 0 $ ottengo la funzione identità. Quindi credo che in questo caso la funzione sia regolare a tratti.
Per $ \alpha >= 1 $, ottengo una cosa del tipo $ \bigcap \bigcap \bigcap \bigcap ... $ (è una forte approssimazione del vero andamento lo so xD), dove ci sono dei punti ad 1 in $ k\pi $. Facendo i limite destro e sinistro nei punti di discontinuità trovo che essi sono eliminabili, quindi primo criterio verificato. Negli intervalli del tipo $ (k\pi, (k+1)\pi) $ la funzione è ovviamente continua e derivabile con derivata continua. Altro criterio verificato. Inoltre nei punti di discontinuità le derivate destre e sinistre esistono finite. Posso concludere che per $ \alpha >= 1 $ la funzione è regolare a tratti.
Per $ \alpha < 0 $ dovrei ottenere un andamento di questo tipo $ \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup ... $ e ad intuito, senza far alcun calcolo mi vien da dire che non ho discontinuità di tipo salto. Ci sono degli asintoti e i limiti destro e sinistro verranno infinito, dunque in questo caso la funzione non è regolare a tratti. E' corretto? In generale, se ottengo delle cuspidi (perché sono cuspidi in questo caso no?) posso evitare di fare tutti i calcoli e ragionamenti astrusi e concludere subito che le discontinuità non sono come vorrei?
Il dubbio più forte ce l'ho per $ 0 < \alpha < 1 $ dove non capisco come sia fatta la funzione. Nella soluzione dell'esercizio (fatta da un mio collega, quindi non per forza corretta), la funzione non viene considerata regolare a tratti. Why?
Dire per quali valori del parametro $ \alpha $ reale, la funzione $ f(t) $, periodica di periodo $ \pi $, definita in $ [0,\pi) $
nel modo seguente, è regolare a tratti.
$ f(t) = \|sin\|^(\alpha) $ per $ 0 < t < \pi $
$ f(t) = 1 $ per $ t = 0 $
(Scusate non do dimestichezza nel fare i sistemi in LaTex xD)
Allora. Funzione regolare a tratti. Una funzione si dice regolare a tratti in un intervallo $ [a,b] $ se esiste una suddivisione
di questo intervallo del tipo $ a = x_0 < x_1 < .... < x_n = b $ tale che, per ogni $ i = 0,1,2,...,n-1 $ la funzione è derivabile con derivata continua negli intervalli $ (x_i, x_(i+1)) $ e nei punti $ x_i $ ha al più discontinuità di tipo salto od eliminabili ed in tali punti ha derivata destra e sinistra finita.
Per $ \alpha = 0 $ ottengo la funzione identità. Quindi credo che in questo caso la funzione sia regolare a tratti.
Per $ \alpha >= 1 $, ottengo una cosa del tipo $ \bigcap \bigcap \bigcap \bigcap ... $ (è una forte approssimazione del vero andamento lo so xD), dove ci sono dei punti ad 1 in $ k\pi $. Facendo i limite destro e sinistro nei punti di discontinuità trovo che essi sono eliminabili, quindi primo criterio verificato. Negli intervalli del tipo $ (k\pi, (k+1)\pi) $ la funzione è ovviamente continua e derivabile con derivata continua. Altro criterio verificato. Inoltre nei punti di discontinuità le derivate destre e sinistre esistono finite. Posso concludere che per $ \alpha >= 1 $ la funzione è regolare a tratti.
Per $ \alpha < 0 $ dovrei ottenere un andamento di questo tipo $ \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup ... $ e ad intuito, senza far alcun calcolo mi vien da dire che non ho discontinuità di tipo salto. Ci sono degli asintoti e i limiti destro e sinistro verranno infinito, dunque in questo caso la funzione non è regolare a tratti. E' corretto? In generale, se ottengo delle cuspidi (perché sono cuspidi in questo caso no?) posso evitare di fare tutti i calcoli e ragionamenti astrusi e concludere subito che le discontinuità non sono come vorrei?
Il dubbio più forte ce l'ho per $ 0 < \alpha < 1 $ dove non capisco come sia fatta la funzione. Nella soluzione dell'esercizio (fatta da un mio collega, quindi non per forza corretta), la funzione non viene considerata regolare a tratti. Why?
Risposte
Mi sa che ho fatto un po di confusione. Da quel che ho "capito" la funzione non è regolare a tratti per $ 0 < \alpha < 1 $ poiché in questo caso abbiamo una cuspide. Per $ alpha < 0 $ si hanno delle discontinuità essenziali. Sta tutto nel capire com'è fatta la funzione >.>
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