Per quali \(a\) posso applicare il teorema di Rolle

[giuscri]

Data la seguente funzione \[f_a(x) = ax^2 + (a^2 + 1)|x| + 3 - 2a\] dire per quali \(a \in \mathbb{R}\) vengono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle e per quali quello di Lagrange nell'intervallo chiuso di estremi \(x = a\) e \(x = 1\).

Perché vengano soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange \(f_a\) dev'essere continua in \([a,1]\). Dato che \(f_a\) è somma di funzioni elementari la funzione non è discontinua per nessun punto dell'intervallo \([a,1]\). Ho bisogno poi di verificare la derivabilità in \((a,1)\). Dato che \(f_a\) è somma di robba e modulo, mi aspetto di avere problemi fondamentalmente in \(x = 0\), e dato che il coefficiente di \(|x|\) non si annulla mai, sarei tentato di concludere per \(f_a\) è derivabile in \((a,1)\) \(\forall a \ge 0\). Comunque lo scrivo ugualmente: \[\lim_{x \to 0} \frac{f_a(x) - f_a(0)}x = \lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + (a^2 + 1)|x| + 3 - 2a -3 + 2a}x \\ = \lim_{x \to 0} {ax + (a^2 + 1)\frac{|x|}x } = \lim_{x \to 0} {o(1) + (a^2 + 1) \frac{|x|}x}\] che non esiste.

Quindi \(f_a\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([a,1]\), \(\forall a \ge 0\).
Per chiudere l'esercizio ho bisogno di trovare per quali \(a\) succede che \(f_a(a) = f_a(1)\).
\[f_a(a) = f_a(1) \\ \Rightarrow a^3 + (a^2 + 1)|a| + 3 -2a = a + a^2 + 1 + 3 - 2a \\ \Rightarrow 2a^3 - a^2 - 1 = 0\] sfruttando il fatto che \(a\) quando non è nullo dev'essere positivo per soddisfare le ipotesi di continuità e derivabilità, quindi liberandomi dal modulo.

Quello che mi rimane da fare è trovare le radici di quel polinomio. Si vede che è multiplo di \((a - 1)\); si riesce a scrivere come \[P(a) = 2a^3 - a^2 - 1 = (2a^2 + a + 1)(a - 1)\]
Ora: \(2a^2 + a + 1\) è sempre positivo, mentre \((a-1)\) si annulla in \(a = 1\). Ma \(a \in \mathbb{R} - \{1\}\), quindi ad \(f_a\) non si può applicare il teorema di Rolle per nessun valore di \(a\).

... che dite?

[Rigel1]

"giuscri":

...Quindi \(f_a\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([a,1]\), \(\forall a \ge 0\).

Per essere più precisi, dovresti dire che \(f_a\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([a,1]\) per \(a\in [0,1)\) e nell'intervallo \([1, a]\) per \(a > 1\).
Per il resto (se non ci sono errori algebrici) dovrebbe andare bene.

[giuscri]

"Rigel":[quote="giuscri"]

...Quindi \(f_a\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([a,1]\), \(\forall a \ge 0\).

Per essere più precisi, dovresti dire che \(f_a\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([a,1]\) per \(a\in [0,1)\) e nell'intervallo \([1, a]\) per \(a > 1\).[/quote]

Già. Me n'ero accorto mentre scrivevo -di aver pensato all'esercizio come se dovesse necessariamente valere \(a < 1\).
Grazie per averci dato un'occhiata comunque!

[theras]

Beh..secondo me sarebbe stato tutto più semplice osservando come quella sia una famiglia di funzioni che,
se considerate tutte nel loro dominio massimo,sono pari $AA a in RR$:
in quanto tali,allora,
i rami di parabola che le rappresenterebbero graficamente nelle eventuali rispettive intersezioni tra il dominio ed i due semipiani individuati da $vec(y)$
(sottointendo ovviamente d'aver fissato un qualunque valore di $a in RR$..)
non presentano cuspidi in $P_0=(0,3-2a)$ solo se $a^2+1=-a^2-1 hArr a=0$,
che però non và neanche lui bene ai nostri fini per l'evidente (*) inapplicabilità del teorema di Rolle ad una funzione lineare.
Te lo scrivo per completezza,non perché non vada bene il tuo discorso puramente analitico
(che per inciso mi pare corretto fino alla fine ,
evidentemente perché $AA a in (0,1)$ non c'è possibilità di veder pareggiare le quote degli estremi del nostro segmento di parabola..):
a non farlo si correva il rischio di trascurare l'approccio geometrico al teorema in questione,
a mio modo di vedere fondamentale per una sua piena comprensione..
Saluti dal web.
(*)Un segmento di retta obliqua ha sempre estremi a quote diverse..

[giuscri]

"theras":Beh..secondo me sarebbe stato tutto più semplice osservando come (...)

Più tardi provo a dare un'occhiata più approfondita a questo discorso e magari ti dico! Grazie per lo spunto intanto