Per quali $a \in RR$ ha senso $\int_(-a)^a x^2/(x^4-1)dx$
Stabilire per quali $a \in RR$ ha senso un'espressione del tipo $\int _(-a)^a x^2/(x^4-1) dx$ (1).
Si tratta di stabilire , in definitiva, per quali $a \in RR$ esiste (1).
Notiamo innanzi tutto che la funzione da integrare è pari, in particolare vale che $AA a \in RR : \int_(-a)^0 f(x) = \int _0^a f(x) dx$. (2)
Notiamo inoltre che $f$ ha delle singolarità nei punti $x_1 = -1 , x_2 = 1$.
Mostro che in $]-1,1[$ $f$ non è integrabile. Il che equivale per (2) mostrare che non esiste $\int_0^1f(x) dx$ (3).
(3) si mostra facilmente con il criterio degli infinitesimi, poiché la funzione è a segno costante,positiva, si mostra che (3) diverge positivamente. Quindi in virtù di (2) posso dire che $\int_-1^1 f(x)=+\infty => $f non è integrabile in suddetto intervallo. (4).
Consideriamo ora intervalli di tipo $[-|a| , |a|] :=I$ e distinguiamo i seguenti casi.
Se $I$ è tale che $]-1,1[ sube I => $f non è integrabile in $I$ in virtù di (4).
Se $I sube ]-1,1[$ e $a $ non sta in ${-1,1}$ , allora essendo $f$ continua in $I$ si ha che esiste l'integrale suddetto.
In definitiva, (1) esiste se e solo se $-1
Vi torna, o ho detto altre atrocità?
Grazie mille ragazzi!
Si tratta di stabilire , in definitiva, per quali $a \in RR$ esiste (1).
Notiamo innanzi tutto che la funzione da integrare è pari, in particolare vale che $AA a \in RR : \int_(-a)^0 f(x) = \int _0^a f(x) dx$. (2)
Notiamo inoltre che $f$ ha delle singolarità nei punti $x_1 = -1 , x_2 = 1$.
Mostro che in $]-1,1[$ $f$ non è integrabile. Il che equivale per (2) mostrare che non esiste $\int_0^1f(x) dx$ (3).
(3) si mostra facilmente con il criterio degli infinitesimi, poiché la funzione è a segno costante,positiva, si mostra che (3) diverge positivamente. Quindi in virtù di (2) posso dire che $\int_-1^1 f(x)=+\infty => $f non è integrabile in suddetto intervallo. (4).
Consideriamo ora intervalli di tipo $[-|a| , |a|] :=I$ e distinguiamo i seguenti casi.
Se $I$ è tale che $]-1,1[ sube I => $f non è integrabile in $I$ in virtù di (4).
Se $I sube ]-1,1[$ e $a $ non sta in ${-1,1}$ , allora essendo $f$ continua in $I$ si ha che esiste l'integrale suddetto.
In definitiva, (1) esiste se e solo se $-1
Vi torna, o ho detto altre atrocità?
Grazie mille ragazzi!
Risposte
Mi pare tutto ok 
grazie peppe!
"TeM":
Sull'integrale ti posso dire che si ha \[ \int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^4-1}\,dx = \arctan(a) + \frac{1}{2} \log\left|\frac{a-1}{a+1}\right| \; \; \Leftrightarrow \; \; a \ne \pm\,1 \; . \] Però, per avere un responso più profondo sulla tua dimostrazione, attendi qualcuno più autorevole di me.
No Tem , non mi si chiede di calcolare l'integrale. Da quello che hai fatto desumo che hai usato Torricelli ; ma penso sia un errore o sbaglio?non è necessario che la funzione sia continua nell'intervallo considerato?
Se quello che scrivi fosse vero, allora se ad esempio integro in un intervallo di tipo $[-2,2]$ dovrei avere un numero reale, ma è anche vero che $\int_-2^2 f(x) = \int_-2^-1f(x) + \int_-1^1f(x)+\int_1^2f(x) $ , ma abbiamo già mostrato prima che $\int_-1^1f(x)$ diverge positivamente. Quindi quell'integrale non può convergere, sei d'accordo?
Penso che nella tua risoluzione ci sia un errore , non hai tenuto conto della irregolarità della funzione.
Grazie comunque per l'aiuto!
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