Per quale valore di $x$ la serie converge

[johnc1]

Salve a tutti, sto provando a risolvere la seguente serie, forse ci sono riuscito, desidererei tanto che qualcuno mi dicesse che sto sbagliando(se sto sbagliando) e magari mi correggesse

$ sum_{n=1}^\infty\ (e^(1/n)-1) sqrt(n^3)sin^n(x) $

imposto: $ (sqrt(n^3) sin^n (x) ) = y $

$ |a_n| = e^(1/n) - 1 $
$ |a_(n+1)| = e^(1/(n+1)) - 1 $

$ [e^(1/(n+1)) - 1]/[ e^(1/n) - 1] $

se $ (1/(n+1)) = x , n=((1-x)/x) $

allora $ ((e^x) - 1) (1/(e^(x/(-x+1))-1)) $
la traccia mi da un suggerimento, ovvero che per $ x\rightarrow\0 $ , $ lim_(x->0)((e^x - 1)/x)=1 $, quindi io seguo il suggerimento, riesco a ricavare il limite notevole e continuo con lo svolgimento del limite con $ x\rightarrow\0 $, ottengo come risultato del limite $ 1/e $

[Noisemaker]

la prima cosa da osservare è che sei in presenza di una serie che non mantiene segno costante, in quanto la presenza sel $\sin x$ devia il segno della serie ; allora per studiarla devi considerare il valore assoluto del termine generale, ovvero:
\begin{align}
\left|\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\sqrt{n^3}\cdot \sin^n x \right|=\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\sqrt{n^3}\cdot \left|\sin x\right|^n
\end{align}

a questo punto siamo difronte ad una serie a termini positivi, e dunque possiamo applicare qualsivoglia criterio di convergenza; consideriamo inizialmente il confronto asintotico :
\begin{align}
\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\sqrt{n^3}\cdot \left|\sin x\right|^n &\sim \frac{\sqrt{n^3}}{n} \cdot \left|\sin x\right|^n=\sqrt{n} \cdot \left|\sin x\right|^n\\
&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n+1} \cdot \left|\sin x\right|^{n+1}}{\sqrt{n} \cdot \left|\sin x\right|^n}=|\sin x|
\end{align}
dunque il criterio del rapporto diventa efficacie quanto il valore del limite risulta minore di uno, quindi puoi concludere che la serie converge se $|\sin x|<1;$ quando $|\sin x|=1$, ovvero per $x=\frac{\pi}{2}$, cioè quando il criterio diventa inefficacie, la serie diviene:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty} \left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\sqrt{n^3}\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^n
\end{align}
di cui, calcolando il limite del termine generale, per vedere se almeno la condizione necessaria di convergenza è verificata, osserviamo che:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\sqrt{n^3}\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^n \sim\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt{n^3}}{n} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^n=+\infty
\end{align}
non essendo verificata la condizione necessaria di convergenza, la serie per $x=\frac{\pi}{2}$ non converge. si conclude che la serie converge solo per $|\sin x|<1 $