Per quale motivo si dice funzione derivabile in (a,b) ?

[qwerty901]

Per quale motivo si dice funzione derivabile in (a,b) e non in [a,b] ?

Capisco che la domanda è banale, ma a quest'ora la mia mente è in pausa - blocco.

[fu^2]

forse è meglio pensarci a mente fresca
comunque a proposito di cosa si dice questa affermazione?...

Ricorda che "in generale" derivare vuol dire fare un limite...

[qwerty901]

"fu^2":forse è meglio pensarci a mente fresca
comunque a proposito di cosa si dice questa affermazione?...

Parlo di teoremi come Rolle, Lagrange,ecc...

"fu^2":
Parlo di teoremi come Rolle, Lagrange,ecc...
Ricorda che "in generale" derivare vuol dire fare un limite...

Perchè il limite sinistro della derivata nel punto $a$ non esiste e la derivata destra nel punto $b$ non esiste neanche?

[ObServer]

in generale, se parliamo di derivabilità o integrabilità (che saprai, è la funzione inversa, detta per questo antiderivazione), non si può definire nell'estremo di un intrervallo. Per la derivata ad esempio, prova a pensarla così: se vuoi trovare la retta tangente il grafico di una funzione continua in un certo punto x, ti serve un certo intorno di x (completo, destro e sinistro) sul quale lavorare per "appoggiare" la tua retta in x se parliamo di un estremo, ti rimane difficile farlo, non trovi?

quindi, se si dice ad esempio: sia $f : [a,b] -> R$, continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ ... si dice per questo motivo. Analogo discorso vale per l'integrabilità. Come ha detto fu^2, si parla di fare un limite, che non è solo un limite destro o un limite sinistro...

[dissonance]

"ObServer":in generale, se parliamo di derivabilità o integrabilità (che saprai, è la funzione inversa,

Analogo discorso vale per l'integrabilità. Come ha detto fu^2, si parla di fare un limite, che non è solo un limite destro o un limite sinistro...

Benvenuto nel forum, ObServer. Non so quale sia il tuo livello, ma in ogni caso io starei attento con queste affermazioni che trovo inesatte e potenzialmente pericolose per un lettore alle prime armi. L'integrale non è l'operatore inverso della derivata, e l'integrabilità non è questione di "fare un limite".

@qwerty: Quando hai una funzione definita in un insieme $A \subset RR$ e a valori in $RR$, per parlare di derivabilità in un punto $x_0$ ti basterebbe, in linea teorica, che questo appartenga ad $A$ e che sia di accumulazione per $A$. Addirittura potresti indebolire la cosa in modo ulteriore se ti limitassi a parlare di derivate destre e sinistre. Ma questo esercizio di astrazione non ti porterebbe tanto lontano.

Infatti la nozione di derivata ha tutta la sua forza in 3 soli teoremi, che poi tra l'altro sono tutti equivalenti quindi contano come uno solo: i teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Tutto il resto discende da qui: la caratterizzazione della monotonia, i massimi e minimi, la convessità, il collegamento con la teoria dell'integrazione ... Ora, nota che perché questi teoremi possano partire occorre avere una o due (due per il teorema di Cauchy) funzioni definite su un intervallo chiuso e derivabili nell'interno dello stesso. Ecco perché di solito si parla di funzioni continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$, perché con queste ipotesi hai a disposizione i teoremi "buoni" del calcolo differenziale.

Ciò non toglie che si possa parlare di derivate destre e sinistre, naturalmente. Ma è una nozione di gran lunga meno importante.

[qwerty901]

"dissonance":[quote="ObServer"]in generale, se parliamo di derivabilità o integrabilità (che saprai, è la funzione inversa,

Analogo discorso vale per l'integrabilità. Come ha detto fu^2, si parla di fare un limite, che non è solo un limite destro o un limite sinistro...

Benvenuto nel forum, ObServer. Non so quale sia il tuo livello, ma in ogni caso io starei attento con queste affermazioni che trovo inesatte e potenzialmente pericolose per un lettore alle prime armi. L'integrale non è l'operatore inverso della derivata, e l'integrabilità non è questione di "fare un limite".

@qwerty: Quando hai una funzione definita in un insieme $A \subset RR$ e a valori in $RR$, per parlare di derivabilità in un punto $x_0$ ti basterebbe, in linea teorica, che questo appartenga ad $A$ e che sia di accumulazione per $A$. Addirittura potresti indebolire la cosa in modo ulteriore se ti limitassi a parlare di derivate destre e sinistre. Ma questo esercizio di astrazione non ti porterebbe tanto lontano.

Infatti la nozione di derivata ha tutta la sua forza in 3 soli teoremi, che poi tra l'altro sono tutti equivalenti quindi contano come uno solo: i teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Tutto il resto discende da qui: la caratterizzazione della monotonia, i massimi e minimi, la convessità, il collegamento con la teoria dell'integrazione ... Ora, nota che perché questi teoremi possano partire occorre avere una o due (due per il teorema di Cauchy) funzioni definite su un intervallo chiuso e derivabili nell'interno dello stesso. Ecco perché di solito si parla di funzioni continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$, perché con queste ipotesi hai a disposizione i teoremi "buoni" del calcolo differenziale.

Ciò non toglie che si possa parlare di derivate destre e sinistre, naturalmente. Ma è una nozione di gran lunga meno importante.[/quote]

Capito grazie

[ObServer]

"dissonance":[quote="ObServer"]in generale, se parliamo di derivabilità o integrabilità (che saprai, è la funzione inversa,

Analogo discorso vale per l'integrabilità. Come ha detto fu^2, si parla di fare un limite, che non è solo un limite destro o un limite sinistro...

Benvenuto nel forum, ObServer. Non so quale sia il tuo livello, ma in ogni caso io starei attento con queste affermazioni che trovo inesatte e potenzialmente pericolose per un lettore alle prime armi. L'integrale non è l'operatore inverso della derivata, e l'integrabilità non è questione di "fare un limite".

@qwerty: Quando hai una funzione definita in un insieme $A \subset RR$ e a valori in $RR$, per parlare di derivabilità in un punto $x_0$ ti basterebbe, in linea teorica, che questo appartenga ad $A$ e che sia di accumulazione per $A$. Addirittura potresti indebolire la cosa in modo ulteriore se ti limitassi a parlare di derivate destre e sinistre. Ma questo esercizio di astrazione non ti porterebbe tanto lontano.

Infatti la nozione di derivata ha tutta la sua forza in 3 soli teoremi, che poi tra l'altro sono tutti equivalenti quindi contano come uno solo: i teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Tutto il resto discende da qui: la caratterizzazione della monotonia, i massimi e minimi, la convessità, il collegamento con la teoria dell'integrazione ... Ora, nota che perché questi teoremi possano partire occorre avere una o due (due per il teorema di Cauchy) funzioni definite su un intervallo chiuso e derivabili nell'interno dello stesso. Ecco perché di solito si parla di funzioni continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$, perché con queste ipotesi hai a disposizione i teoremi "buoni" del calcolo differenziale.

Ciò non toglie che si possa parlare di derivate destre e sinistre, naturalmente. Ma è una nozione di gran lunga meno importante.[/quote]

Ti ringrazio per la risposta e la delucidazione. Ad ogni modo, io avrei trattato la definizione in generale, senza per forza legarla ai teoremi che tu citi. Se parliamo di una funzione ben definita su $[a,b]$, se la consideriamo derivabile, quindi parliamo della derivata destra e sinistra di qualsiasi punto in questo intervallo, è chiaro che non possiamo considerare gli estremi; dovremmo aggiungere che esiste derivata destra in $a$, e derivata sinistra in $b$. Ero intervenuto solo per chiarire questo. Sul fatto dell'integrazione che non è l'operazione inversa della derivazione, sinceramente ti dirò, sono rimasto confuso.

[dissonance]

Sul discorso "integrazione come operazione inversa della derivazione" ti suggerisco questo link, prova a dare una scorsa e vedi se chiarisce cosa voglio dire; altrimenti ne dovremo riparlare più in là.
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47843.html

[ObServer]

"dissonance":Sul discorso "integrazione come operazione inversa della derivazione" ti suggerisco questo link, prova a dare una scorsa e vedi se chiarisce cosa voglio dire; altrimenti ne dovremo riparlare più in là.
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47843.html

Grazie, fa sempre piacere avere materiale nuovo da studiare; stamperò e leggerò con molto interesse, non rispondo qui andando inutilmente OT, magari apro una nuova discussione o rispondo a discussioni che già trattano la cosa.

[dissonance]

Prova anche a fare una ricerca sul forum; il dualismo integrale-derivata è un argomento classico di cui si è parlato molte volte. Si tratta anche di un argomento piuttosto complesso, nonostante sia molto comune. Ecco perché sorgono semplificazioni come quella di "l'integrale è l'operatore inverso della derivata" che purtroppo sono (a mio avviso) piuttosto dannose.