Per pietà qualcuno mi può spiegare sti limiti?

[dave031]

ciao a tutti! ho un problemino...non riesco a capire come si calcolano i limiti di una funzione in modo algebrico.
so che la definizione di limite è la seguente: dire che il limite per x che tende a x0 di una funzione f(x) é uguale a L significa che, per ogni x appartenente all'intorno di x0 allora f(x) appartiene all'intorno di l, cioè si può riformulare il tutto così: per ogni epsilon > 0 esiste un delta >0 tale che per ogni x appartenente al dominio della funzione f:

0<|x-x0| |f(x)-l|
....allora ho per esempio il seguente limite:

lim per x->1 di x^2 = 1

come faccio a dimostrare che è vero?o in ogni caso a verificarlo?....non riesco a capire il procedimento che devo adottare...
aiutatemi, vi prego!!!

[Sk_Anonymous]

In tal caso hai $l=1$ allora:

............$|x^2-1|

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[Luca.Lussardi]

C'è un bel po' di confusione nelle parole di ENEA84.

Si tratta di verificare che $\lim_(x \to 1)x^2=1$. Andiamo con la definizione. Sia $\epsilon>0$; andiamo a vedere quando $|x^2-1|<\epsilon$. Si ha $-\epsilon < x^2-1<\epsilon$ ovvero $1-\epsilon 1$, allora la disuguaglianza di sinistra è verificata per ogni $x$; in tutti gli altri casi il tutto equivale a $\sqrt(1-\epsilon)0$ tale per cui $(1-\delta,1+\delta) \subseteq (\sqrt(1-\epsilon),\sqrt(1+\epsilon))$, il che verifica la definizione di limite.

[Sk_Anonymous]

[dave031]

ti ringrazio della risposta esaustiva e completa, mi sei stato di grande aiuto!
non vorrei abusare della tua disponibilità, ma vorrei capire anche che differenza c'e' nella verifica di un limite, nel caso la tendenza della x, o il limite stesso sia +/- infinito, ad esempio:

lim per x-> -infinito di x^2 = +infinito

[Mortimer1]

La definizione di limite è sempre la stessa, cambia chiaramente la verifica. Esistono nove casi particolari riconducibili a tre casi:
$lim_(x->c)=l$
$lim_(x->+oo)=l$
$lim_(x->c)=+oo$
Può essere molto utile la rappresentazione grafica del limite per comprendere appieno la relazione tra l'intorno del punto d'accumulazione e l'intorno di $l$.

[Luca.Lussardi]

Proprio sempra la stessa direi di no, a meno che uno faccia la definizione topologica, con gli intorni; dire che $lim_(x \to -\infty)f(x)=+\infty$ significa che per ogni $M>0$ esiste $N<0$ tale per cui per ogni $xM$.

Nel nostro caso va controllata $x^2>M$ che equivale a $x<-sqrt(M)$ oppure $x>sqrt(M)$. Dunque per ogni $M>0$ esiste $0>N=-sqrt(M)$ tale che per ogni $xM$.

[dave031]

quindi ad esempio nel caso io voglia verificare questo limite lim x->-inf di x+x^2 =+inf
dovrei dimostrare che, preso un m>0 esiste un n>0 dipendente dall'm preso, tale che da

x^2+x>m segue che
x<-n

quindi in questo caso avrei
x^2+x>m , quindi se x<-m il limite dovrebbe essere verificato...giusto? oppure ho detto na castroneria?
grazie a tutti!

[Luca.Lussardi]

Non sono certo che $x^2+x>m$ sia verificata se $x<-m$.... almeno non ho fatto il conto; potrebbe anche essere vero, ma basta che risolvi la disequazione.

[dave031]

intanto ti ringrazio del tuo tempestivo quanto eloquente intervento.
in base a quello che mi hai detto allora, se risolvo l'equazione derivata dalla definizione di limite, allora dovrei verificare la soluzione
del limite:
$lim x+x^2 =+oo$
$x->-oo$

da cui ricavo la disequazione:
$x^2+x > m$

$x^2+x - m > 0$

dato che il discriminante è maggiore di 0 (ho supposto che m >0) ho due soluzioni reali distinte:
$x_1 =(-1 - sqrt(1+4m))/2$
$x_2 =(-1 + sqrt(1+4m))/2$

dato che il segno della disequazione è > allora avrò

$x< x_1$ e $x>x_2$

quindi dato che devo dimostrare che da

$x+x^2 > m$ consegue che $x<-n$

il valore che dovrei associare il mio -n per confermare che il limite è corretto, sarebbe il valore $x_1$ ?

[Luca.Lussardi]

Esattamente.

[dave031]

"Luca.Lussardi":Esattamente.

ti ringrazio, mi sei stao di grande aiuto...e spero potrai esserlo ancora in futuro