Per chi vuole esercitarsi
Ecco un limite d'esame, assegnato alla prova di Analisi I/1 del primo dicembre:
Scusate le dimensioni ma almeno si vede bene.
Scusate le dimensioni ma almeno si vede bene.
Risposte
$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+(cos(sqrtx*log_3(x+9)))^(arctgx)-2cosx+x^(ln(1+x^3)))/(sqrt(x^2+6x^3)-x)$
=$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(arctgx*cos(sqrtx*log_3(x+9)))-2cosx+e^(x*ln(1+x^3)))/(xsqrt(1+6x)-x)$
Ora facciamo gli sviluppi:
$sqrtx*log_3(x+9)=sqrtx*(ln9)/(ln3)+0(x^(3/2))$ per cui $cos(sqrtx*log_3(x+9))=1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))+0(x^2)$
$arctgx=x+0(x^3)$
$sqrt(1+6x)=1+3x+0(x^2)$
$ln(1+x^3)=x^3+0(x^6)$
$cosx=1-x^2/2+0(x^4)$ per cui
il limite diventa
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(x*ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))))-2+x^2+e^(x^4))/(3x^2)$
Ora
$ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3)))=-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))x+0(x^2)$
$e^(x^4)=1+x^4+0(x^8)$ per cui
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(x*ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))))-2+x^2+e^(x^4))/(3x^2)$=
$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3)))-2+x^2+1+x^4)/(3x^2)$
Ora $e^(-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3)))=1-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+0(x^4)$ per cui
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+1-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))-2+x^2+1+x^4)/(3x^2)$
=$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+x^2+x^4)/(3x^2)$
=$lim_(x->0^+)(x^2(1/x^2e^((x-1)/(x^2))-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+1+x^2))/(3x^2)=$
=$lim_(x->0^+)(1/x^2e^((x-1)/(x^2))-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+1+x^2)/3=$
Ora $lim_(x->0^+)1/x^2e^((x-1)/(x^2))=0,lim_(x->0^+)x^2=0$ per cui
$l=1/3-1/6*(ln^2(9))/(ln^2(3))$
Ho fatto tutti i passaggi per far capire bene tutti gli sviluppi, sperando di essere stato chiaro.
=$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(arctgx*cos(sqrtx*log_3(x+9)))-2cosx+e^(x*ln(1+x^3)))/(xsqrt(1+6x)-x)$
Ora facciamo gli sviluppi:
$sqrtx*log_3(x+9)=sqrtx*(ln9)/(ln3)+0(x^(3/2))$ per cui $cos(sqrtx*log_3(x+9))=1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))+0(x^2)$
$arctgx=x+0(x^3)$
$sqrt(1+6x)=1+3x+0(x^2)$
$ln(1+x^3)=x^3+0(x^6)$
$cosx=1-x^2/2+0(x^4)$ per cui
il limite diventa
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(x*ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))))-2+x^2+e^(x^4))/(3x^2)$
Ora
$ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3)))=-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))x+0(x^2)$
$e^(x^4)=1+x^4+0(x^8)$ per cui
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(x*ln(1-1/2*x*(ln^2(9))/(ln^2(3))))-2+x^2+e^(x^4))/(3x^2)$=
$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+e^(-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3)))-2+x^2+1+x^4)/(3x^2)$
Ora $e^(-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3)))=1-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+0(x^4)$ per cui
$l=lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))+1-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))-2+x^2+1+x^4)/(3x^2)$
=$lim_(x->0^+)(e^((x-1)/(x^2))-1/2*x^2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+x^2+x^4)/(3x^2)$
=$lim_(x->0^+)(x^2(1/x^2e^((x-1)/(x^2))-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+1+x^2))/(3x^2)=$
=$lim_(x->0^+)(1/x^2e^((x-1)/(x^2))-1/2*(ln^2(9))/(ln^2(3))+1+x^2)/3=$
Ora $lim_(x->0^+)1/x^2e^((x-1)/(x^2))=0,lim_(x->0^+)x^2=0$ per cui
$l=1/3-1/6*(ln^2(9))/(ln^2(3))$
Ho fatto tutti i passaggi per far capire bene tutti gli sviluppi, sperando di essere stato chiaro.
Il risultato del limite è $-1/3$, a me viene che il numeratore va a 0 come $-x^2$
e il denominatore ci va come $3x^2$.
e il denominatore ci va come $3x^2$.
"Reynolds":
Il risultato del limite è $-1/3$, a me viene che il numeratore va a 0 come $-x^2$
e il denominatore ci va come $3x^2$.
scusa ma se la traccia è quella da me scritta nel mio post il risultato è quello trovato da me e Mathematica mi dà conferma. forse la traccia è errata. vedi un poco.
In effetti semplificando $1/3 - 1/6 (log^2 9)/(log^2 3)$ viene proprio $-1/3$ 
"Reynolds":
In effetti semplificando $1/3 - 1/6 (log^2 9)/(log^2 3)$ viene proprio $-1/3$
in effetti è così $1/3 - 1/6 (log^2 9)/(log^2 3)=1/3-1/6*(ln^2(3^2))/(ln^2(3))=1/3-1/6*(2ln(3))^2/(ln^2(3))=1/3-1/6*(4ln^2(3))/(ln^2(3))=1/3-4/6=1/3-2/3=-1/3$
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