Per chi studia Analisi I
Buonasera a tutti.
Ritengo che il seguente problema possa essere di interesse per chi sta preparando l'esame di analisi I. Buono studio.
Problema. Sia $y(x) in C^2(RR)$ (cioè sia $y(x)$ una funzione continua con derivate continue fino al secondo ordine su tutto $RR$). Sia inoltre $y''+y'=x/arctanx$.
Mostrare che $y(x)$ non ha punti di massimo locale o assoluto.
Ritengo che il seguente problema possa essere di interesse per chi sta preparando l'esame di analisi I. Buono studio.
Problema. Sia $y(x) in C^2(RR)$ (cioè sia $y(x)$ una funzione continua con derivate continue fino al secondo ordine su tutto $RR$). Sia inoltre $y''+y'=x/arctanx$.
Mostrare che $y(x)$ non ha punti di massimo locale o assoluto.
Risposte
"Luca.Lussardi":
Per gugo82: non la può soddisfare per come è scritta per $x=0$, il valore $x=0$ annulla un denominatore. Che poi si possa dedurre un'uguaglianza anche per $x=0$ passando al limite è un'altra cosa, ed è quello, sostanzialmente, che ho fatto io per trattare il caso in cui il punto di massimo cada in $x=0$.
Stiamo forse riesumando vecchie questioni celeberrime del tipo $(sen x)/x=1$ per $x=0$?
$y', y''$ per ipotesi sono continue su tutto $RR$ (quindi anche in $0$). Ma la somma di due funzioni continue in $0$ è una funzione continua in $0$. Ma la funzione somma si è visto che in $0$ non è nemmeno definita.
Questo ragionamento è corretto? E' per questo che dici che il testo è impreciso?
Dico solo che nel testo andava specificato, ad essere rigorosi, che $y$ verifica $y''+y'=x/(arctan x)$ per ogni $x$ diverso da $0$.
"Luca.Lussardi":
Per gugo82: non la può soddisfare per come è scritta per $x=0$, il valore $x=0$ annulla un denominatore. Che poi si possa dedurre un'uguaglianza anche per $x=0$ passando al limite è un'altra cosa, ed è quello, sostanzialmente, che ho fatto io per trattare il caso in cui il punto di massimo cada in $x=0$.
Stiamo forse riesumando vecchie questioni celeberrime del tipo $(sen x)/x=1$ per $x=0$?
Domandare è lecito, rispondere è cortesia; e rispondere a tono è anche più cortese.
L'ultima frase potevi tranquillamente risparmiartela, visto che avevo spiegato come intendevo la questione (e mi pare che qui sia usato esplicitamente il verbo "prolungare", no?).
Non mi piace che qualcuno risponda in maniera tanto sgarbata (non è la prima volta) a mie richieste di chiarimenti (quando si degna di rispondere, perchè non sempre è così gentile... click).
Risposte così da parte di un amministratore m'inducono a pensare di non essere ben accetto (nonostante mi faccia il mazzo per stare dietro a tutti i casini che si combinano in questa stanza), perciò lascio stare il forum per un po'; dissonance e Steven sopperiranno egregiamente alla mia assenza.
Byes a tutti.
Non vedo nulla di sgarbato nella mia risposta, né io ce l'ho con qualcuno. Mi sono limitato ad un'osservazione tecnica, l'espressione $0/0$ è priva di significato, che poi si possa prendere il prolungamento per continuità è un'altra cosa, ed è corretto come hai fatto anche tu nel tuo post, utilizzando fortemente il fatto che la derivata seconda è continua.
Purtroppo nel testo non c'era scritto nulla di tutto ciò (il testo del problema, tratto dall'ultimo appello di analisi 1, è esattamente quello che ho riportato io). Convengo che effettivamente bisognava quanto meno fare "a mano" il caso $x=0$ e ringrazio Luca.Lussardi e gugo82 per le loro precisazioni.
Mi dispiace tanto, spero di non aver sollevato un polverone. Perdonatemi nel caso.
Mi dispiace tanto, spero di non aver sollevato un polverone. Perdonatemi nel caso.
Quale polverone... sospettavo che si trattava di un testo di un tema d'esame, come sospettavo che lo avessi riportato fedelmente... per cui nel testo originale assegnato, secondo me, andava detto almeno che quell'uguaglianza andava intesa per ogni $x$ diverso da $0$. Tutto è bene ciò che finisce bene.
Secondo me entrambi le osservazioni sono corrette, il fatto che in $x=0$ non vada considerata l'equazione poteva anche essere specificato(anche se potrebbe ritenersi implicito), ed é corretta l'interpretazione che dev'essere data al quesito da gugo, in quanto la continuitá delle derivate, ovunque, ed in special modo nell'origine, é un ipotesi tutt'altro che superfua, la somma delle derivate nell'origine é, infatti, in virtú di essa, il limite della funzione a secondo membro per x tendente a zero.
Non si tratta di una interpretazione, ma di una cosa che segue dall' ipotesi assunta, ed è ben diverso. Se la funzione $y$ fosse stata solo derivabile due volte le cose sarebbero cambiate in modo radicale, non si poteva più passare al limite. Che poi sia una cosa immediata e banale che un occhio allenato vede subito non lo metto in dubbio, ma per uno studente che sta preparando Analisi 1 è importante fermarsi su questi piccoli dettagli.
Scusa, intendevo osservazione, in linea con le premesse del mio post.
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