Per chi studia Analisi I
Buonasera a tutti.
Ritengo che il seguente problema possa essere di interesse per chi sta preparando l'esame di analisi I. Buono studio.
Problema. Sia $y(x) in C^2(RR)$ (cioè sia $y(x)$ una funzione continua con derivate continue fino al secondo ordine su tutto $RR$). Sia inoltre $y''+y'=x/arctanx$.
Mostrare che $y(x)$ non ha punti di massimo locale o assoluto.
Ritengo che il seguente problema possa essere di interesse per chi sta preparando l'esame di analisi I. Buono studio.
Problema. Sia $y(x) in C^2(RR)$ (cioè sia $y(x)$ una funzione continua con derivate continue fino al secondo ordine su tutto $RR$). Sia inoltre $y''+y'=x/arctanx$.
Mostrare che $y(x)$ non ha punti di massimo locale o assoluto.
Risposte
E' un problema di Cauchy? Perchè ancora non l'ho studiato.... 
No, non è un problema di Cauchy. Non ti fare spaventare dall'aspetto simil-equazione differenziale, è un problema semplice ma (sono d'accordo con Paolo) istruttivo.
La prima cosa che mi viene in mente è integrare...
No, prova a seguire il mio hint.
E' semplice, credimi... pensa a come è fatta una funzione derivabile due volte in un intorno di un suo punto di massimo. O se preferisci, prova a farti un'idea del grafico di $f(x)=x/arctanx$...
E' semplice, credimi... pensa a come è fatta una funzione derivabile due volte in un intorno di un suo punto di massimo. O se preferisci, prova a farti un'idea del grafico di $f(x)=x/arctanx$...
"Paolo90":non lo so...
No, prova a seguire il mio hint.
E' semplice, credimi... pensa a come è fatta una funzione derivabile due volte in un intorno di un suo punto di massimo.
"Paolo90":
O se preferisci, prova a farti un'idea del grafico di $f(x)=x/arctanx$...
Il grafico è una specie di parabola che presenta in 0 un punto di discontinuità eliminabile o sbaglio?
Provo ad abbozzare un ragionamento che mi è saltato in mente mentre stavo spegnendo il pc.. 
Allora, sappiamo che in un punto di massimo, la derivata prima è nulla, e la derivata seconda è negativa. Noi abbiamo già la derivata seconda sotto gl' occhi, che nell' eventuale punti di estremo diventerà: $y'' = x/arctg(x)$.
Ora, sapendo che la funzione $f(x) = x/arctg(x)$ è sempre positiva, deduciamo che anche la nostra $y''$ è sempre positiva (concavità verso l' alto, quindi $y(x)$ non ha massimo..
Che ne dici Paolo ?
Allora, sappiamo che in un punto di massimo, la derivata prima è nulla, e la derivata seconda è negativa. Noi abbiamo già la derivata seconda sotto gl' occhi, che nell' eventuale punti di estremo diventerà: $y'' = x/arctg(x)$.
Ora, sapendo che la funzione $f(x) = x/arctg(x)$ è sempre positiva, deduciamo che anche la nostra $y''$ è sempre positiva (concavità verso l' alto, quindi $y(x)$ non ha massimo..
Che ne dici Paolo ?
Ciao. Provo a darti una mia opinione.
D'accordo. Tu hai supposto per assurdo che esista un punto $xi$ di massimo locale per la funzione $y(x)$. Quindi, necessariamente:
$y''(xi) + y'(xi) = (xi)/(arctan(xi))$
Il che è assurdo, perché $y''(xi) < 0$, $y'(xi) = 0$, e $(xi)/(arctan(xi)) > 0$ (basta studiare il segno della funzione $f(x)$)
Sei d'accordo?
Però ora bisogna dimostrare che non esistono punti di massimo assoluto.
"stefano_89":
Provo ad abbozzare un ragionamento che mi è saltato in mente mentre stavo spegnendo il pc..
Allora, sappiamo che in un punto di massimo, la derivata prima è nulla, e la derivata seconda è negativa. Noi abbiamo già la derivata seconda sotto gl' occhi, che nell' eventuale punti di estremo diventerà: $y'' = x/arctg(x)$.
D'accordo. Tu hai supposto per assurdo che esista un punto $xi$ di massimo locale per la funzione $y(x)$. Quindi, necessariamente:
$y''(xi) + y'(xi) = (xi)/(arctan(xi))$
Il che è assurdo, perché $y''(xi) < 0$, $y'(xi) = 0$, e $(xi)/(arctan(xi)) > 0$ (basta studiare il segno della funzione $f(x)$)
Sei d'accordo?
Però ora bisogna dimostrare che non esistono punti di massimo assoluto.
sì ma ammesso che sia corretto il ragionamento..(mi sembra troppo facile così!! ma come abbozzo mi pare funzioni bene!!) di solito i punti di massimo assoluto sono da ricercarsi tra i relativi..non ci sono relativi ergo non ci sono assoluti...a meno che non siano massimi assoluti agli estremi del dominio della funzione o in altri punti di discontinuità, dove ovviamente la funzione non va a infinito però...
io avevo fatto questo ragionamento che è analogo:
$ y'+y'' >0 $ quindi possono verificarsi solo questi casi:
1) entrambe le derivate maggiori di zero
2) $ y'<0$ e $ y''>|y'| $
3) $ y''<0$ e $ y'>|y''| $
4) $y'=0$, $y''>0$ ($y(x)$ ammette punto di minimo)
5) $y''=0$, $y'>0$ ($y(x)$ ammette punto di flesso)
ma comunque per il massimo assoluto (come stavo dicendo prima) direi che esiste se il dominio è limitato e chiuso... bisogna solo dimostrare il contrario!!
io avevo fatto questo ragionamento che è analogo:
$ y'+y'' >0 $ quindi possono verificarsi solo questi casi:
1) entrambe le derivate maggiori di zero
2) $ y'<0$ e $ y''>|y'| $
3) $ y''<0$ e $ y'>|y''| $
4) $y'=0$, $y''>0$ ($y(x)$ ammette punto di minimo)
5) $y''=0$, $y'>0$ ($y(x)$ ammette punto di flesso)
ma comunque per il massimo assoluto (come stavo dicendo prima) direi che esiste se il dominio è limitato e chiuso... bisogna solo dimostrare il contrario!!
Secondo me va benissimo il ragionamento di stefano_89. E' quello a cui avevo pensato subito anche io. Ottima la formalizzazione di Seneca.
Circa l'obiezione di Seneca sui massimi assoluti, concordo con quanto detto da pierr all'inizio del suo post: i massimi assoluti sono da ricercarsi in quelli relativi: ma non ci sono massimi relativi, ergo non possono essercene di assoluti. Che dite?
Non capisco solo che cosa intendi, pierr, quando dici "il massimo assoluto esiste solo se il dominio è chiuso e limitato".
Ricordo che il teorema di Weierstrass è una implicazione, ma non è doppia. Certamente se una funzione è definita su un compatto ammette ivi max e min assoluti (vero, Seneca? ).
Ma non è vero il viceversa. Prendi la parabola $f(x)=-x^2$ su un qualsiasi intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato: come vuoi) contenente l'origine: c'è sempre il massimo assoluto.
Ok?
Circa l'obiezione di Seneca sui massimi assoluti, concordo con quanto detto da pierr all'inizio del suo post: i massimi assoluti sono da ricercarsi in quelli relativi: ma non ci sono massimi relativi, ergo non possono essercene di assoluti. Che dite?
Non capisco solo che cosa intendi, pierr, quando dici "il massimo assoluto esiste solo se il dominio è chiuso e limitato".
Ricordo che il teorema di Weierstrass è una implicazione, ma non è doppia. Certamente se una funzione è definita su un compatto ammette ivi max e min assoluti (vero, Seneca?
). Ma non è vero il viceversa. Prendi la parabola $f(x)=-x^2$ su un qualsiasi intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato: come vuoi) contenente l'origine: c'è sempre il massimo assoluto.
Ok?
si forse mi sono espresso male (anzi sì! non ci andava il "solo se esiste")...comunque stavo pensando al caso di una funzione definita in un intervallo limitato e chiuso, e che in un estremo di tale intervallo ha punto di massimo..non perché la derivata prima si annulla, ma semplicemente perché $f(a)>f(x)$ $AA x$
quella di Weierstrass lo so non è una doppia implicazione..ma..non conoscendo il dominio di $y(x)$ teoricamente potrebbe esserci un massimo o no?? almeno fin che non dimostriamo che il dominio è illimitato..e a riguardo credo debba esserci qualche teorema sulle funzioni di classe $C (RR)$ oppure sulle soluzioni di un'equazione differenziale..
ora cambio il post...
______
scusatemi..un'ultima cosa..compatto e chiuso significano la stessa cosa ($[a,b]$)???
quella di Weierstrass lo so non è una doppia implicazione..ma..non conoscendo il dominio di $y(x)$ teoricamente potrebbe esserci un massimo o no?? almeno fin che non dimostriamo che il dominio è illimitato..e a riguardo credo debba esserci qualche teorema sulle funzioni di classe $C (RR)$ oppure sulle soluzioni di un'equazione differenziale..
ora cambio il post...
______
scusatemi..un'ultima cosa..compatto e chiuso significano la stessa cosa ($[a,b]$)???
Andiamo per ordine.
Per prima cosa, la $y(x)$ del nostro problema sta per ipotesi in $C^2(RR)$ cioè:
1. è continua su tutto $RR$
2. è derivabile su tutto $RR$ e ha derivata prima continua su tutto $RR$
3. è derivabile due volte su tutto $RR$ e ha derivata seconda continua su tutto $RR$
Non mi pare ci siano problemi di "dominio". Se esistesse un punto di massimo relativo o assoluto allora si avrebbe... (e si fa il discorso di stefano_89 o di Seneca).
Si raggiunge un assurdo, quindi $y(x)$ non ha massimi. Ok?
Forse non è difficilissimo però è istruttivo, come dicevo ieri sera, secondo me: insegna a "guardare" un'equazione differenziale.
Per una definizione di compatto, ti rimando qui.
Per prima cosa, la $y(x)$ del nostro problema sta per ipotesi in $C^2(RR)$ cioè:
1. è continua su tutto $RR$
2. è derivabile su tutto $RR$ e ha derivata prima continua su tutto $RR$
3. è derivabile due volte su tutto $RR$ e ha derivata seconda continua su tutto $RR$
Non mi pare ci siano problemi di "dominio". Se esistesse un punto di massimo relativo o assoluto allora si avrebbe... (e si fa il discorso di stefano_89 o di Seneca).
Si raggiunge un assurdo, quindi $y(x)$ non ha massimi. Ok?
Forse non è difficilissimo però è istruttivo, come dicevo ieri sera, secondo me: insegna a "guardare" un'equazione differenziale.
Per una definizione di compatto, ti rimando qui.
ooook!! grazie per avermi riordinato le idee!! 
capito!
capito!
Figurati.
L'idea della soluzione è stata azzeccata, però secondo me bisogna stare attenti a piccoli dettagli. Io per essere preciso la farei così. Anzitutto va osservato che l'ipotesi vale se $x$ non è $0$ (anche se non è detto, quindi il testo è lievemente impreciso). Ora come già osservato siccome $y \in C^2(\RR)$ basta mostrare che $y$ non ha massimi locali. Sia $x_0 \in \RR$ un punto di massimo locale, che non sia $0$. Allora si avrebbe, essendo $x_0$ anche critico, $y''(x_0)=y''(x_0)+y'(x_0)=(x_0)/(arctan x_0)>0$ che è assurdo. Ne segue che l'eventuale punto di massimo locale potrebbe essere solo $x_0=0$. Sia $x_h$ una successione con $x_h \to 0$, e con $x_h$ diverso da $0$ per ogni $h$. Allora $y''(x_h)+y'(x_h)=(x_h)/(arctan x_h)$ per ogni $h$ da cui, passando al limite e usando il fatto che $y \in C^2(\RR)$, si ha $y''(0)=1$, che è ancora assurdo.
"Luca.Lussardi":
Anzitutto va osservato che l'ipotesi vale se $x$ non è $0$ (anche se non è detto, quindi il testo è lievemente impreciso).
A quale ipotesi ti riferisci Luca?
Personalmente avrei eliminato il problema nell'origine in questo modo.
Poiché il secondo membro ha una discontinuità eliminabile in $x=0$, dal momento che $y\in C^2$ la relazione $y''+y'=f(x)$ vale su tutto $RR$ con $f(0)=1$ e $f(x) = \frac{x}{\arctan x}$ per $x\ne 0$.
Poiché il secondo membro ha una discontinuità eliminabile in $x=0$, dal momento che $y\in C^2$ la relazione $y''+y'=f(x)$ vale su tutto $RR$ con $f(0)=1$ e $f(x) = \frac{x}{\arctan x}$ per $x\ne 0$.
Sì, è la stessa cosa che ho fatto io alla fine, passando per successione.
Quanto all'ipotesi intendevo dire che si afferma che $y$ soddisfa un'equazione differenziale, ma è stato omesso il fatto che la verifica per ogni $x$ diverso da $0$.
Quanto all'ipotesi intendevo dire che si afferma che $y$ soddisfa un'equazione differenziale, ma è stato omesso il fatto che la verifica per ogni $x$ diverso da $0$.
Non vedo perchè non la soddisfi per [tex]$x=0$[/tex]; intendo dire, la funzione [tex]$f(x)=\frac{x}{\arctan x}$[/tex] si può prolungare su [tex]$0$[/tex] in modo da averla [tex]$C^1(\mathbb{R})$[/tex] (e addirittura globalmente lipschitziana) e credo che l'equazione vada intesa in tal senso (ossia col termine noto prolungato a dovere).
Al massimo serviva fare un'analisi preliminare della regolarità del termine noto, prima di buttar giù la soluzione; o no?
Al massimo serviva fare un'analisi preliminare della regolarità del termine noto, prima di buttar giù la soluzione; o no?
"Paolo90":
Ricordo che il teorema di Weierstrass è una implicazione, ma non è doppia. Certamente se una funzione è definita su un compatto ammette ivi max e min assoluti (vero, Seneca?
Un giorno o l'altro farò strage di compatti...
Per gugo82: non la può soddisfare per come è scritta per $x=0$, il valore $x=0$ annulla un denominatore. Che poi si possa dedurre un'uguaglianza anche per $x=0$ passando al limite è un'altra cosa, ed è quello, sostanzialmente, che ho fatto io per trattare il caso in cui il punto di massimo cada in $x=0$.
Stiamo forse riesumando vecchie questioni celeberrime del tipo $(sen x)/x=1$ per $x=0$?
Stiamo forse riesumando vecchie questioni celeberrime del tipo $(sen x)/x=1$ per $x=0$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo