Per chi ha fatto Analisi I...

[gugo82]

... un simpatico esercizietto.

Sia $n in NN$.
Dimostrare che la funzione definita in $RR$ dall'asseganzione:

$f(x)=("d"^n)/("d"x^n)[(x^2-1)^n]$

è un'applicazione polinomiale avente tutti i suoi zeri in $[-1,1]$ e che, tra tali zeri, sono semplici solamente quelli che cadono in $]-1,1[$; provare inoltre che la $f$ è funzione pari o dispari a seconda che $n$ sia pari o dispari.

Si può generalizzare quanto trovato ad una qualunque funzione del tipo $("d"^k)/("d"x^k)[(x^2-1)^n]$ con $k in {0,\ldots , 2n-1}$?


Suggerimento: non bisogna fare tanti calcoli, perchè basta applicare un teorema classico del Calcolo Differenziale.

[fu^2]

ma n fissato giusto?
cioè se fissato che so n=2 otteniamo che $f(x)=d^2/(dx^2)[((x^2-1)^2]=8x^2+4(x^2-1)


giusto? giusto per sapere se ho inteso bene prima di lanciarmi

ps una cosa che ho sentito poco cosa intendi con " tra i suoi zeri sono semplici"?

[ELWOOD1]

credo che uno zero sia semplice quando in quel punto si annulli solo la funzione (ad es $x^2-1$ in $x=1$ e $x=-1$ sono 2 zeri semplici), multiplo è invece quando si annulla sia la funzione che la sua derivata (ad es $x^2$ in $x=0$)....ma magari mi sbaglio, perchè mi riferisco all'analisi di Weirestrass

[fu^2]

capito neh aspettiamo anche la conferma dello scrittore e poi via verso nuove avventure
grazie intanto della risposta

[ELWOOD1]

figurati...e buona avventura!beato te....io non saprei nemmeno da dove partire!

[gugo82]

Chiarisco tre punti:

- Quando si dice "Sia $n in NN$" si intende che il numero $n$ sia, in ciò che segue tale frase, fissato.
Una volta provata, l'affermazione è valida per ogni $n$, però all'atto della dimostrazione $n$ è da ritenersi fissato una volta per tutte.

- La scrittura $("d"^n)/("d"x^n)[(x^2-1)^n]$ identifica la derivata $n$-esima rispetto ad $x$ della funzione $(x^2-1)^n$: pertanto il risultato dell'esempio riportato da fu^2 è corretto.

- Sappiamo che un numero $alpha$ è uno zero (o radice) dell'applicazione polinomiale $P(x)$ non nulla se e solo se risulta $P(x)=(x-alpha)*Q(x)$ con $Q$ applicazione polinomiale non nulla.
Uno zero $alpha$ di $P(x)$ si dice avere molteplicità $mu in NN$ se e solo se risulta $P(x)=(x-alpha)^mu*Q(x)$ (con $Q$ come sopra) ma non esiste nessuna applicazione polinomiale $R$ non nulla tale che $P(x)=(x-alpha)^(mu+1)*R(x)$; si prova che una condizione necessaria e sufficiente affinchè l'applicazione polinomiale $P(x)$ abbia in $alpha$ uno zero di molteplicità $mu$ è che in $alpha$ si annullino tutte le derivate di $P(x)$ fino all'ordine $mu-1$ mentre la derivata d'ordine $mu$ vi assuma valore non nullo.
Ogni zero dell'applicazione polinomiale $P(x)$ che abbia molteplicità $mu=1$ si dice essere uno zero semplice di $P$; per quanto detto prima, dire che $alpha$ è uno zero semplice di $P$ equivale a dire che in $alpha$ si annulla $P$ ma non la sua derivata $P'$.
Se $m=2,3,4,\ldots$ lo zero $alpha$ viene detto doppio, triplo, quadruplo,... per $P$.

Spero di aver chiarito abbastanza le cose.

A proposito di molteplicità, ricordo un corollario del Teorema Fondamentale dell'Algebra che viene utile nell'esercizio:

Sia $P$ un'applicazione polinomiale a coefficienti reali, non identicamente nulla.
Se $P$ ha tutti i suoi zeri in $RR$, allora la somma delle molteplicità degli zeri di $P$ è uguale al grado di $P$.

P.S.: ragazzi, non partite in quarta svolgendo le derivate, perchè non ce n'è affatto bisogno.

[fu^2]

"ELWOOD":figurati...e buona avventura!beato te....io non saprei nemmeno da dove partire!

non ho detto che io sappia bene però almeno ora ho capito bene cosa dice il testo e ci si può iniziare a ragionare
edit: grazie gugo per le delucidazioni

[fu^2]

abbozzo una dimostrazione (anche perchè poi devo andare via... )

io chiamerei questo esercizio " il gioco di Rolle "

$p(x)=(d/(dx))^n[(x^2-1)^n]$ è una funzione polinomiale di grado n. Infatti le derivate di un polinomio dan sempre luogo a un polinomio e itinerando successivamente la regola di drivazione delle funzioni composte ricordando che $d/(dx)x^a=ax^(a-1)$ e $d/dx[g(f(x))]=g'(f(x))*f'(x)$ otteniamo che la scrittura esplicita di quella funzione, che è un polinomio.
Quindi il grado della funzione dipende semplicemnete da n, in quanto il grado del polinomio è esattamente n.
Inoltre è bene ricordare che se g è una funzione polinomiale, $gr(g(x))>=gr(g'(x))$ con gr indicato il grado del polinomio.
Inoltre per il teorema di Rolle sappiamo che se su $[x_1,x_2]$ la funzione è continua in quanto èuna funizone polinomiale, ed è anche derivabile in $(x_1,x_2)$ e $g(x_1)=g(x_2)=0$, quindi esisterà un punto $x_0\in\(x_1,x_2)$ tc $g'(x_0)=0$.
Quindi essendo che $(x^2-1)^n$ ha 2n radici reali e distinte, precisamente -1,1 entrambe di molteplicità n tutte le sue derivate avranno le radici comprese nell'intervallo [-1,1] per l'osservazione appena fatta, quindi possiamo concludere che tutte le radici di $p(x)\in\[-1,1]$.
Siano ora $h_1,h_2$ due radici di $p(x)$ con $h_1!=1,h_2!=-1$ per Rolle abbiamo che la radice di $p'(x)$ esiste e non sarà coincidente nè con $h_1$, nè $h_2$ quindi $h_1,h_2$ sono due radici semplici.
Invece mettiamo che $p(1)=0$ allora esso sarà un punto di flesso a tangente orizzontale in quanto le radici di $p(x)=(d/(dx))^(n-1)[(x^2-1)^n]$ cadono tutte in [-1,1], ciò implica che anche i suoi estremanti cadono in questo intervallo, quindi se la sua derivata si annulla in -1 o in 1, essi saranno punti di flesso a tangente orizzontale (se anche $p(x)=(d/(dx))^(n-1)[(x^2-1)^n]$ presenta lo stesso problema, si può procedre a ritroso con la stessa logica fino all'inizio, cioè quando la derivata è semplicemnete la derivata primae li è evidente).
Ma se sono punti di flesso allora anche $p''(x)$ si annulla in essi (in quanto se c'è un flesso è CNS che p''(x) si annulli in quel punto) e quindi non sono zeri semplici.
questo va bene solo se la funzione è di grado disparo, se la funzione ha grado pari il discorso è equivalente, però non c'è il punto di flesso, ma un estremante. Col grado della funzione cambia la struttura effettivamente

penso che in linea di massima possa andare come soluzione giusto?
amo gli esercizi senza calcoli

[gugo82]

Va più o meno bene, ma c'è almeno un errore. Trovalo e correggilo.

[fu^2]

dovrei averlo trovato, ora l'ho sistemato... magari domani sistemo meglio tutto ora devo scapapre ciaoo

[Studente Anonimo]

Scusa fu^2 ma:

"fu^2":per il teorema di Rolle sappiamo che se $x_1,x_2,x_1<=x_2$ sono radici di $g(x)$ e se $x_0$ è una radice di $g'(x)$, essa sarà sempre tale che $x_1<=x_0<=x_2$.

Potresti riformulare questo concetto?

[gugo82]

"Martino":Scusa fu^2 ma:

[quote="fu^2"]per il teorema di Rolle sappiamo che se $x_1,x_2,x_1<=x_2$ sono radici di $g(x)$ e se $x_0$ è una radice di $g'(x)$, essa sarà sempre tale che $x_1<=x_0<=x_2$.

Potresti riformulare questo concetto? [/quote]
Infatti era proprio questo l'errore a cui mi riferivo.
La frase va riformulata, perchè così proprio non coglie l'aspetto essenziale della questione.

Inoltre, non c'è bisogno di tutte le considerazioni finali sul comportamento di $p$ in $pm 1$, giacché non è richiesto dalla traccia.

Rimangono inevase le domande sulla parità/disparità e sulla generalizzazione del discorso per tutte le altre derivate di $(x^2-1)^n$.

Aspetto con ansia l'esercizio terminato.

Ciao fu^2. Lieto di averti fatto divertire.

[fu^2]

scusate ma è il teorme adi rolle... nel senso che su $[x_1,x_2]$ la funzione è continua in quanto èuna funizone polinomiale, ed è anche derivabile in $(x_1,x_2)$ e $g(x_1)=g(x_2)=0$, quindi esisterà un punto $x_0\in\(x_1,x_2)$ tc $g'(x_0)=0$ che è la frase che ho detto in sostanza o sto sbagliando da pivello?

[Studente Anonimo]

Beh, quello che dici:

"fu^2":per il teorema di Rolle sappiamo che se $x_1,x_2,x_1<=x_2$ sono radici di $g(x)$ e se $x_0$ è una radice di $g'(x)$, essa sarà sempre tale che $x_1<=x_0<=x_2$.

preso letteralmente (beh, come dovrei prenderlo? ) equivale a dire (presa g una funzione derivabile su $RR$) che dati due zeri a e b di g, la derivata di g si annulla solo tra quei due valori. Questo evidentemente non è vero (pensa ad una qualsiasi funzione derivabile periodica con almeno uno zero, tipo la funzione seno).
Il teorema di Rolle (beh, quello che conosco io ) afferma che se g è una funzione continua definita su $[a,b]$ (dove a

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[gugo82]

Ecco è proprio l'affermazione di esistenza che mancava!

Scritto in questo modo:

"fu^2":per il teorema di Rolle sappiamo che se $x_1,x_2,x_1<=x_2$ sono radici di $g(x)$ e se $x_0$ è una radice di $g'(x)$, essa sarà sempre tale che $x_1<=x_0<=x_2$.

il risultato non è affatto valido: basti pensare alla funzione $sinx$ che ha come zeri $0,pi$ e però lo zero della derivata prima $-pi/2$ non appartiene all'intervallo $[0,pi]$ (ovviamente questo è un esempio di comodo, perchè si può usare pure un'applicazione polinomiale opportunamente costruita).

Il problema è in quel "e se $x_0$ è una radice..." che deve essere rimpiazzato con la frase magica "esiste un $x_0$ che sia radice...".

[fu^2]

effettivamente l'ho scritta male, comunque nel mio intervento ora l'ho sistemato, ora edito...
scusate, ma ho molti problemi di espressione e quando scrivo una frase tante volte la capisco, ma forse non è chiara al mondo... comunque problema risolto grazie della puntualizzazione!

[gugo82]

Giustifica meglio l'affermazione:

"fu^2":
Quindi essendo che $(x^2-1)^n$ ha $2n$ radici reali e distinte, precisamente $-1,1$ entrambe di molteplicità $n$ tutte le sue derivate avranno le radici comprese nell'intervallo $[-1,1]$ per l'osservazione appena fatta...

Che $pm 1$ non siano zeri semplici è banale, perchè si vede che essi sono esattamente zeri d'ordine $n$ per $p$ (a meno che $n$ non sia uguale ad uno, evidentemente): pertanto puoi eliminare un paio di righe alla fine.

[gugo82]

E lo so!

Ho appena finito di studiare Analisi Superiore.