Per Analisiti Armonici
Sono sul Rudin, pag. 83, Th 4.14
Qualcuno saprebbe indicarmi a cosa serve l'ipotesi che la $φ:A->C$ sia nulla tranne al più in F?
ma soprattutto poi mi servirebbe dire che la funzione $\hat{x}:A->C$ interpreta esattamente il ruolo di $φ:A->C$ per proseguire la dimostrazione (Per poter usare il punto a) ) . Però non ho elementi per dirlo.. non posso fare il test su un $\alpha$ in $F^C$. non saprei da dove partire per farlo
Accetto chiarimenti!!
Appena adesso mi sono reso conto che questo teorema sembra essere stato rimpiazzato in questa versione del libro:
http://www.filestube.com/c9cf92575067b68203eb/go.html
In quella che io c'è.. Questo adesso mi fa pensare che sia stato rivisto!
Qualcuno saprebbe indicarmi a cosa serve l'ipotesi che la $φ:A->C$ sia nulla tranne al più in F?
ma soprattutto poi mi servirebbe dire che la funzione $\hat{x}:A->C$ interpreta esattamente il ruolo di $φ:A->C$ per proseguire la dimostrazione (Per poter usare il punto a) ) . Però non ho elementi per dirlo.. non posso fare il test su un $\alpha$ in $F^C$. non saprei da dove partire per farlo
Accetto chiarimenti!!
Appena adesso mi sono reso conto che questo teorema sembra essere stato rimpiazzato in questa versione del libro:
http://www.filestube.com/c9cf92575067b68203eb/go.html
In quella che io c'è.. Questo adesso mi fa pensare che sia stato rivisto!
Risposte
la mia versione del libro (a cui faccio esplicito riferimento nel mio post) è questa: http://www.scribd.com/doc/14868434/Wrud ... x-Analysis
Nel punto a) consideri combinazioni lineari finite di elementi $u_{\alpha}$ (per questo $\varphi$ deve essere nulla fuori da un insieme finito).
Nel punto b) poni $\varphi = \hat{x}$ su $F$ (mentre $\varphi = 0$ fuori da $F$) e usi il punto a).
Nel punto b) poni $\varphi = \hat{x}$ su $F$ (mentre $\varphi = 0$ fuori da $F$) e usi il punto a).
sull'identificazione successiva, ci sto benissimo!
ma all'inizio non mi riesce chiaro come usare la "nullità" della funzione fuori da F. Cioè.. mi manca il buon vecchio "sia $/alpha$ in A.. allora se sta in F etc.. "
So che di sicuro è qualcosa di piccolo che però formalmente ancora non vedo..
ma all'inizio non mi riesce chiaro come usare la "nullità" della funzione fuori da F. Cioè.. mi manca il buon vecchio "sia $/alpha$ in A.. allora se sta in F etc.. "
So che di sicuro è qualcosa di piccolo che però formalmente ancora non vedo..
La nullità fuori da $F$ ti serve per dire che la serie a secondo membro è, in realtà, una sommatoria finita.
Se vuoi formalizzare: sia $F\subset A$ un sottoinsieme finito di $A$, e sia $\varphi:A\to \CC$ una funzione tale che $\varphi(\alpha) = 0$ per ogni \(\alpha\in A\setminus F\).
(Ma è la stessa cosa...)
Se vuoi formalizzare: sia $F\subset A$ un sottoinsieme finito di $A$, e sia $\varphi:A\to \CC$ una funzione tale che $\varphi(\alpha) = 0$ per ogni \(\alpha\in A\setminus F\).
(Ma è la stessa cosa...)
Quale secondo membro?
Quella sugli indici che variano in F è una somma finita ma..nasce finita.. non devo dedurlo.. Mi sembra un vortice..Mi sto imputtanando..
(GRAZIE)
http://imageshack.us/photo/my-images/408/fourier.jpg/
Quella sugli indici che variano in F è una somma finita ma..nasce finita.. non devo dedurlo.. Mi sembra un vortice..Mi sto imputtanando..
(GRAZIE)
http://imageshack.us/photo/my-images/408/fourier.jpg/
(ho messo un link all'immagine)
In pratica c'è scritto:
a) Siano \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in A\), siano \( c_1, \ldots,c_n\in\mathbb{C}\) e definiamo \( y := \sum_{i=1}^n c_i u_{\alpha_i}\). Allora \(\hat{y}(\alpha_i) = c_i\) per ogni \(i\in \{1,\ldots,n\}\), mentre \(\hat{y}(\alpha) = 0\) per tutti gli altri valori di \(\alpha\).
a) Siano \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in A\), siano \( c_1, \ldots,c_n\in\mathbb{C}\) e definiamo \( y := \sum_{i=1}^n c_i u_{\alpha_i}\). Allora \(\hat{y}(\alpha_i) = c_i\) per ogni \(i\in \{1,\ldots,n\}\), mentre \(\hat{y}(\alpha) = 0\) per tutti gli altri valori di \(\alpha\).
ma..per dimostrare quell'uguaglianza non mi serve quel requisito! Basta fare il conto...e in questo conto non torna utile quell'ipotesi...
Qualcosa non quadra (in realtà non vedo..dato che l'edizione del libro in cui questo teorema MANCAVA è più vecchia di quella dove C'E' quindi evidentemente è un tocco di classe aggiunto ..di sicuro vero).
Qualcosa non quadra (in realtà non vedo..dato che l'edizione del libro in cui questo teorema MANCAVA è più vecchia di quella dove C'E' quindi evidentemente è un tocco di classe aggiunto ..di sicuro vero).
Non ho capito di che requisito parli.
Poi lo so anche io che per dimostrare a) basta fare il conto (lo dice anche Rudin, del resto).
Poi lo so anche io che per dimostrare a) basta fare il conto (lo dice anche Rudin, del resto).
mi sembra di dimostrare che se il cicelo è blu, allora 2+2=4.
Dove "il cielo è blu" è questo fatto che fuori da F la $varphi$ faccia 0 e "2+2=4" è l'intero punto a).
Dove "il cielo è blu" è questo fatto che fuori da F la $varphi$ faccia 0 e "2+2=4" è l'intero punto a).
Il punto è che a una generica serie $\sum_{\alpha\in A}...$ devi dare un senso (cosa che Rudin fa subito dopo); questo senso glielo si da passando per le sommatorie su sottoinsiemi $F\subset A$ finiti.
Il conto formale che serve a dimostrare a) lo puoi fare, senza complicazioni aggiuntive, solo se hai una sommatoria finita.
Il conto formale che serve a dimostrare a) lo puoi fare, senza complicazioni aggiuntive, solo se hai una sommatoria finita.
Dopo fila tutto liscio...Riesco ad apprezzare (e capire) la genialata del passaggio dal finito al QUALSIASI che interviene dopo con le "serie" generalizzate.
Ma questo vettore $y$ costruito ad hoc è già una somma finita (combinazione lineare ) .
Dimmi se sei d'accordo con questo:
Se $alpha in F^c$ il conto viene $0$ che coincide proprio con $varphi(alpha)$ stando alla natura di $varphi$ che appunto fuori da $F$ è nulla.. Ok... Fin qui ce l'ho fatta ( E ti ringrazio).
Ma.. a questo punto perchè la funzione $hatx :A->C $ può essere trattata già come una $varphi$ di quel tipo? Perchè $hatx(alpha)=0$ se $alpha in F^c$ ?? Oppure semplicemente il punto b) non richiede l'intervento del punto a) ?
Perchè nel problema di approssimazione ineffetti si dimostra che nel caso del sottospazio $L(v_1,...,v_n)$ i coefficienti di Fourier risolvono il problema della ricerca degli scalari $c_1,...,c_n$ tali che $Px$ (la proiezione sul sottospazio) sia $c_1*v_1+ ... +c_n*v_n$ cioè in altri termini ogni $c_i$ è il coeff di fourier del vettore "da approssimare" rispetto al vettore $v_i$ e quindi con pitagora chiaramente la norma di $Px$ minora la norma dell'$x$ da approssimare. Che ne pensi? Senza che rileggi per capire (sono stato abbastanza contorto ma è perchè sono teso e l'esame è fra poco) ..in due parole.. posso dimostrare il punto b) senza l'uso di a) ma solo con i teoremi visti prima? (proiettori ortogonali e pitagora...e ovviamente al def. di coeff. di Fourier rispetto a un set ortonormale).
Ma questo vettore $y$ costruito ad hoc è già una somma finita (combinazione lineare ) .
Dimmi se sei d'accordo con questo:
Se $alpha in F^c$ il conto viene $0$ che coincide proprio con $varphi(alpha)$ stando alla natura di $varphi$ che appunto fuori da $F$ è nulla.. Ok... Fin qui ce l'ho fatta ( E ti ringrazio).
Ma.. a questo punto perchè la funzione $hatx :A->C $ può essere trattata già come una $varphi$ di quel tipo? Perchè $hatx(alpha)=0$ se $alpha in F^c$ ?? Oppure semplicemente il punto b) non richiede l'intervento del punto a) ?
Perchè nel problema di approssimazione ineffetti si dimostra che nel caso del sottospazio $L(v_1,...,v_n)$ i coefficienti di Fourier risolvono il problema della ricerca degli scalari $c_1,...,c_n$ tali che $Px$ (la proiezione sul sottospazio) sia $c_1*v_1+ ... +c_n*v_n$ cioè in altri termini ogni $c_i$ è il coeff di fourier del vettore "da approssimare" rispetto al vettore $v_i$ e quindi con pitagora chiaramente la norma di $Px$ minora la norma dell'$x$ da approssimare. Che ne pensi? Senza che rileggi per capire (sono stato abbastanza contorto ma è perchè sono teso e l'esame è fra poco) ..in due parole.. posso dimostrare il punto b) senza l'uso di a) ma solo con i teoremi visti prima? (proiettori ortogonali e pitagora...e ovviamente al def. di coeff. di Fourier rispetto a un set ortonormale).
Mi sembra che in b) si usi a) solo per dimostrare la disug. di Parseval (5).
Bessel 
Ti ringrazio tanto!!
In gamba
Ti ringrazio tanto!!
In gamba
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