Pensiero ozioso sulla potenza del continuo

[giuscri]

1. Se $(0,1)$ ha la potenza del continuo, è ovvio che anche $[0,1]$ abbia potenza del continuo?

2. L'insieme delle intersezioni con l'asse delle x della funzione $f$ : $y=sin(1/x)$ ha la potenza del continuo? Mi sembra anche questo un risultato abbastanza ovvio, ma forse ..

L'insieme delle intersezioni di $f$ con le ascisse sono i valori per cui si verifica $f(x)=0$. Mi aspetto di avere un'infinità non numerabile di soluzioni, intuitivamente, guardando ad una $B(r, 0)$ con r piccolo a piacere. Invece, con un po' di pedanteria:

$y=sin(1/x)$

Per $y=0$:
$0=sin(1/x)$

$t:=1/x$

$sint=0$, se $t=0+kpi$, $AA k \in ZZ$;

$rArr 1/x=0+kpi=kpi$;

$x=1/kpi$, $AA k \in ZZ$. Ma $ZZ$ ha potenza del numerabile, allora anche l'insieme delle ${x_k}$ ha la potenza del numerabile. Quindi $f$ interseca l'asse delle ascisse un'infinità numerabile di volte?

[gugo82]

"giuscri":2. L'insieme delle intersezioni con l'asse delle x della funzione $f$ : $y=sin(1/x)$ ha la potenza del continuo? Mi sembra anche questo un risultato abbastanza ovvio, ma forse ...

Ma non è "ovvio" nemmeno per l'anticamera del cervello... L'insieme delle intersezioni è evidentissimamente numerabile.

[giuscri]

Grazie per il chiarimento. Riguardo al primo punto?