Pendenza della retta tg

[Tommy85]

Ho questa funzione $f(x,y)=x^2 log(e+y^2)+x^2 y^2$ mi chiede di Determinare, in funzione del parametro $alfa$, la pendenza della retta tangente il grafico della funzione $ g(t)=f(1+t cos alfa, t sen alfa)$ nel punto $t_0=0$
Allora sapendo che le derivate parziali stanno a rappresentare la pendenza delle rette tg..nn riesco a capire come muovermi

[Tommy85]

"TeM":1. Date le funzioni \( f(x,\;y) := x^2\log(e+y^2)+x^2y^2 \) e \( h(t) := \binom{1+t\cos\alpha}{t\sin\alpha} \) per composizione si determinata \(g(t) := (f \circ g)(t) \), a quel punto si deriva rispetto a \(t\) e \(g'(0)\) sarà la pendenza della retta tangente desiderata.

2. Per risparmiare un sacco di tempo ed energie (oltre ad essere più eleganti) occorre applicare il teorema di differenziazione delle funzioni composte secondo il quale \(g'(0)=\vec{\nabla}f(h(0)) \cdot \vec{\nabla}h(0)\). Così facendo si ha:

\( h(0) = \binom{1}{0} \) ;

\( \vec{\nabla}h(0) = \binom{cos\alpha}{\sin\alpha} \) ;

\( \vec{\nabla}f(x,\;y) = \left( 2x\left( y^2 + \log(e+y^2) \right), \; 2x^2y\left( 1 + \frac{1}{e+y^2} \right) \right) \) ;

\( \vec{\nabla}f(h(0)) = (2,\;0) \) ;

\( \Rightarrow \; g'(0)=(2,\;0) \cdot \binom{cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\cos\alpha \) .

Spero sia un po' più chiaro

quindi la pendenza sarà la derivata di $g$ nel punto $0$?