[PDE] - Unicità della soluzione (equazione del trasporto?)

[Sk_Anonymous]

Ho il seguente initial-value problem: \[\begin{cases} u_t + c u_x = 0, \qquad x \in \mathbb{R}, \ t>0 \\ u(x,0) = g(x) \end{cases} \qquad [1] \]dove \(u_t\) e \(u_x\) sono derivate parziali. L'esercizio chiede di provare che il problema è ben posto se \(g \in C^1 _b (\mathbb{R})\) - cioè di provare che una soluzione esiste, è unica e che dipende in maniera continua dalle condizioni (data?) iniziali nella \(\sup\)-norma.

Ora, esistenza e dipendenza continua mi sembrano facili: basta osservare che \(u(x,t)=g(x-ct)\) è soluzione di \([1]\). Ma par quanto riguarda l'unicità...? Di solito credo che si passi per il supporre l'esistenza di un'altra soluzione \(v(x,t)\) per poi trarne un assurdo (magari col metodo dell'energia ), ma non sono riuscito a concludere... qualche idea?

Ringrazio.

[gugo82]

Siano \(u,v\) due soluzioni del medesimo IVP.
Chiaramente, la differenza \(w:=u-v\) risolve lo IVP omogeneo associato alla PDE, cioè:
\[
\left\{ \begin{split} w_t(x,t) + c\cdot w_x(x,t) &= 0 \quad \text{per } (x,t)\in \mathbb{R}\times ]0,\infty[ \\ w(x,0) &= 0 \quad \text{per } x\in \mathbb{R}\end{split} \right.
\]
e basta provare che \(w(x,t)=0\) in \(\mathbb{R}\times [0,\infty[\) per ottenere la tesi.

Supponiamo per assurdo che \(w(x,t)\neq 0\) intorno ad un punto \((x_0,t_0)\); tale punto ha certamente \(t_0>0\).
Per il punto \((x_0,t_0) \in \mathbb{R}\times ]0,\infty[\) passa un'unica semiretta del fascio improprio di equazione \(x=c\cdot t +k\) contenuta nel semipiano \(\mathbb{R}\times [0,\infty[\), la quale ha equazione \(x=c\cdot t - (c\cdot t_0 - x_0)\) con \(t\geq 0\).
Consideriamo allora la funzione composta:
\[
\phi (t) := w(c\cdot t - (c\cdot t_0 - x_0) , t)\; ,
\]
la quale è chiaramente di classe \(C^1 ([0,\infty[)\) (stiamo parlando di soluzioni classiche...) ed ha:
\[
\begin{split}
\dot{\phi} (t) &= c\cdot w_x (c\cdot t - (c\cdot t_0 - x_0) , t) + w_t (c\cdot t - (c\cdot t_0 - x_0) , t) \\
&= 0
\end{split}
\]
(poiché \(w\) risolve la PDE); pertanto \(\phi\) è costante in \([0,\infty[\) e, in particolare, risulta:
\[
\phi (t) = \phi (t_0).
\]
per ogni \(t\geq 0\).
Ebbene, ciò è assurdo poichè \(\phi (0) = w(x_0 - c\cdot t_0, 0) = 0 \neq w(x_0,t_0) = \phi (t_0)\).
Dunque \(w(x,t)=0\) ovunque in \(\mathbb{R}\times [0,\infty[\).

Nota che nella dimostrazione ho solo imitato la costruzione della soluzione fatta usando il metodo delle caratteristiche: infatti, le semirette del fascio improprio \(x=c\cdot t + k\) sono proprio le curve caratteristiche della PDE.

Inoltre, osserva che, in assenza di punti caratteristici (cioè di punti in cui le curve caratteristiche di una PDE collidono -proprio come in questo caso-), il metodo delle caratteristiche ti consente di costruire un'unica soluzione dello IVP per una PDE del primo ordine: invero, visto che la soluzione dello IVP è costruita sfruttando l'esistenza di una soluzione per un problema di Cauchy relativo ad un sistema di ODE del primo ordine (il cosiddetto sistema caratteristico), e visto che tale soluzione è unica per la teoria delle ODE, l'unicità della soluzione per lo IVP viene fuori "gratis".

[Sk_Anonymous]

Grazie!