PDE: Equazione di d'Alembert
Ciao a tutti,
vorrei discutere un attimo sull'equazione di d'Alembert nel caso di onde piane.
Ho messo dei punti interrogativi rossi "? " dove ho dei dubbi.
Sia $f:AsubRR^n->RR$, $f in C_(RR)^2, v in RR$.
$nabla^2 f = 1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
E' un'equazione di secondo ordine alle derivate parziali omogenea, ed è caratteristica delle funzioni il cui grafico è un'onda che si muove a velocità $v$.
Nel caso di $n=2$ si trova che ad esempio un'onda piana progressiva è soluzione dell'equazioni. E si scrive come:
$f(x,t)=f_0*f(x-vt)$ ?
Ma se $f:AsubRR^2->RR$ la scrittura $f(x-vt)$ non dovrebbe avere alcun senso, no ?
Se invece avessimo una cosa del tipo:
$psi:RR->RR,psi in C_(RR)^2$
$f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$
Non sarebbe più logico ?
Poi un'altra cosa, provo a mostrare che $f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$ è soluzione dell'equazione di d'Alembert.
$(partial f)/(partial x)=psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial x^2)=psi_0*psi''(x-vt)$
$(partial f)/(partial t)=-v*psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial t^2)=v^2*psi_0*psi''(x-vt)$
Sostituendo si deve avere:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial t^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
$psi_0*psi''(x-vt)+v^2*psi_0*psi''(x-vt)=psi_0*psi''(x-vt)$ ?
Perfetto non viene.
Grazie in anticipo !
vorrei discutere un attimo sull'equazione di d'Alembert nel caso di onde piane.
Ho messo dei punti interrogativi rossi "? " dove ho dei dubbi.
Sia $f:AsubRR^n->RR$, $f in C_(RR)^2, v in RR$.
$nabla^2 f = 1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
E' un'equazione di secondo ordine alle derivate parziali omogenea, ed è caratteristica delle funzioni il cui grafico è un'onda che si muove a velocità $v$.
Nel caso di $n=2$ si trova che ad esempio un'onda piana progressiva è soluzione dell'equazioni. E si scrive come:
$f(x,t)=f_0*f(x-vt)$ ?
Ma se $f:AsubRR^2->RR$ la scrittura $f(x-vt)$ non dovrebbe avere alcun senso, no ?
Se invece avessimo una cosa del tipo:
$psi:RR->RR,psi in C_(RR)^2$
$f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$
Non sarebbe più logico ?
Poi un'altra cosa, provo a mostrare che $f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$ è soluzione dell'equazione di d'Alembert.
$(partial f)/(partial x)=psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial x^2)=psi_0*psi''(x-vt)$
$(partial f)/(partial t)=-v*psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial t^2)=v^2*psi_0*psi''(x-vt)$
Sostituendo si deve avere:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial t^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
$psi_0*psi''(x-vt)+v^2*psi_0*psi''(x-vt)=psi_0*psi''(x-vt)$ ?
Perfetto non viene.
Grazie in anticipo !
Risposte
ti rispondo con un approccio un po' da fisico, che non è quindi molto esaustivo per un matematico:
credo sia più corretto scrivere
$f(x,t)=A*g(x-vt)$
da intendere come: la funzione di due variabili $f$ si può scrivere come una funzione $g$ di una sola variabile, combinazione lineare delle due $x\pmvt$, moltiplicata al più per un fattore costante $A$.
l'equazione di d'alembert secondo me sarebbe meglio vederla usando il d'alembertiano:
\(\Box\ f = 0\)
esplicitamente, nel caso $n=2$, se le due variabili le chiami $x$ e $t$, \(\Box f\) diventa:
\(\Box f = \partial_x^2f - \partial_t^2 f = 0\)
come vedi, è l'equazione delle onde con $v=1$, con una ridefinizione di $x$ e $t$ dovresti ottenere la più generica \(\Box f = \partial_x^2f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
il succo di tutto ciò è che il laplaciano che appare nell'equazione che hai scritto, è da intendere come se agisse esclusivamente sulle "variabili spaziali".
esempio:
se consideri $n=4$, allora $f = f(x,y,z,t)$ ed il d'alembertiano diventa:
\(\Box f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
dove i primi tre termini ricostruiscono il laplaciano "sulle variabili spaziali" $x$, $y$ e $z$:
\(\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
l'errore quindi in quel che hai scritto sta nel fatto che hai inteso il laplaciano come se agisse pure sulla variabile $t$.
mi rendo conto che non è una spiegazione molto soddisfacente perchè non spiego nulla, ti dò solo un vademecum da seguire alla lettera, ma magari può aiutarti a complementare le tue conoscenze e ad ottenere l'epifania
"lordb":
[...]
Nel caso di $n=2$ si trova che ad esempio un'onda piana progressiva è soluzione dell'equazioni. E si scrive come:
$f(x,t)=f_0*f(x-vt)$ ?
Ma se $f:AsubRR^2->RR$ la scrittura $f(x-vt)$ non dovrebbe avere alcun senso, no ?
[...]
credo sia più corretto scrivere
$f(x,t)=A*g(x-vt)$
da intendere come: la funzione di due variabili $f$ si può scrivere come una funzione $g$ di una sola variabile, combinazione lineare delle due $x\pmvt$, moltiplicata al più per un fattore costante $A$.
l'equazione di d'alembert secondo me sarebbe meglio vederla usando il d'alembertiano:
\(\Box\ f = 0\)
esplicitamente, nel caso $n=2$, se le due variabili le chiami $x$ e $t$, \(\Box f\) diventa:
\(\Box f = \partial_x^2f - \partial_t^2 f = 0\)
come vedi, è l'equazione delle onde con $v=1$, con una ridefinizione di $x$ e $t$ dovresti ottenere la più generica \(\Box f = \partial_x^2f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
il succo di tutto ciò è che il laplaciano che appare nell'equazione che hai scritto, è da intendere come se agisse esclusivamente sulle "variabili spaziali".
esempio:
se consideri $n=4$, allora $f = f(x,y,z,t)$ ed il d'alembertiano diventa:
\(\Box f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
dove i primi tre termini ricostruiscono il laplaciano "sulle variabili spaziali" $x$, $y$ e $z$:
\(\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f = 0\)
l'errore quindi in quel che hai scritto sta nel fatto che hai inteso il laplaciano come se agisse pure sulla variabile $t$.
mi rendo conto che non è una spiegazione molto soddisfacente perchè non spiego nulla, ti dò solo un vademecum da seguire alla lettera, ma magari può aiutarti a complementare le tue conoscenze e ad ottenere l'epifania
Ciao,
innanzi tutto ti ringrazio per la risposta.
Quindi se ho capito bene il mio errore è stato quello di usare la definizione matematica di gradiente e divergenza?
Cioè io ho fatto:
$vec nabla f: RR^2->RR^2,(x,t)->((partial f)/(partial x),(partial f)/(partial t))(x,t)$
$nabla^2f= div (vec nabla f)=(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial f^2)/(partial t^2)$
Metre io avrei dovuto fare una cosa del genere:
$vec nabla f = (partial f)/(partial x)(x,t)$
$nabla^2f=(partial^2 f)/(partial x^2)+0=(partial^2 f)/(partial x^2)$
In tal caso effettivamente avrei:
$psi_0*psi''(x-vt)=psi_0*psi''(x-vt)$
Tuttavia sono molto perplesso sul modo di procedere.
innanzi tutto ti ringrazio per la risposta.
Quindi se ho capito bene il mio errore è stato quello di usare la definizione matematica di gradiente e divergenza?
Cioè io ho fatto:
$vec nabla f: RR^2->RR^2,(x,t)->((partial f)/(partial x),(partial f)/(partial t))(x,t)$
$nabla^2f= div (vec nabla f)=(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial f^2)/(partial t^2)$
Metre io avrei dovuto fare una cosa del genere:
$vec nabla f = (partial f)/(partial x)(x,t)$
$nabla^2f=(partial^2 f)/(partial x^2)+0=(partial^2 f)/(partial x^2)$
In tal caso effettivamente avrei:
$psi_0*psi''(x-vt)=psi_0*psi''(x-vt)$
Tuttavia sono molto perplesso sul modo di procedere.
no, non è che ho cambiato la definizione di laplaciano. ho solo detto che nell'equazione di d'alembert, agisce solo "sulla parte spaziale" di $f$, non su tutte le variabili di $f$.
purtroppo non so darti una spiegazione più formale. posso però assicurarti che è il giusto modo di procedere.
lascio ad altri l'onere di dare una giustificazione più formale ._.
mi spiace non poter essere più esaustivo.
purtroppo non so darti una spiegazione più formale. posso però assicurarti che è il giusto modo di procedere.
lascio ad altri l'onere di dare una giustificazione più formale ._.
mi spiace non poter essere più esaustivo.
Non preoccuparti,sei stato utilissimo.
L'importante è che non cambino le definizioni.
Sono proprio curioso di sapere la spiegazione matematica di tutto ciò.
Grazie ancora
L'importante è che non cambino le definizioni.
Sono proprio curioso di sapere la spiegazione matematica di tutto ciò.
Grazie ancora
comunque ho pensato che... se la funzione la pensi come $f = f(x,y,z,ivt)$, con $v$ costante, quando applichi il laplaciano, ottieni esattamente l'equazione di d'alembert.
non aiuta granchè ma, dal punto di vista fisico, credo che vi sia un forte legame col tensore metrico dello spaziotempo: http://goo.gl/NCZ92
dal punto di vista matematico... io ricordo che si arriva all'equazione delle onde (che è il d'alembertiano di fatto) anche attraverso elucubrazioni matematiche sul fenomeno "corda oscillante sottoposta ad una tensione".
beh comunque, termino qui
non so proprio darti ragioni matematiche consistenti
non aiuta granchè ma, dal punto di vista fisico, credo che vi sia un forte legame col tensore metrico dello spaziotempo: http://goo.gl/NCZ92
dal punto di vista matematico... io ricordo che si arriva all'equazione delle onde (che è il d'alembertiano di fatto) anche attraverso elucubrazioni matematiche sul fenomeno "corda oscillante sottoposta ad una tensione".
beh comunque, termino qui
non so proprio darti ragioni matematiche consistenti
Forse ho capito,
ho letto sul P&S che l'equazione di d'Alembert sarebbe:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial y^2) + (partial^2 f)/(partial z^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
Quindi ipotizzo ciò:
Se poniamo:
$f_1:RR^4->RR,(x,y,z,t)->f_1(x,y,z,t)$
$f_2:RR^3->RR,(x,y,z)->f_1(x,y,z,t)$ con $t$ parametro.
Allora l'equazione di d'Alembert diventa:
$nabla^2f_2=1/v^2(partial^2f_1)/(partial t^2)$
Con abuso di notazione identifico $f_2$ con $f_1$ a patto di considerare l'azione del Laplaciano solo sulle coordinate spaziali.
$nabla_(text{spaz})^2f_1=1/v^2(partial^2f_1)/(partial t^2)$
Dici che ha un senso quello che ho scritto o sono ubriaco ?
ho letto sul P&S che l'equazione di d'Alembert sarebbe:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial y^2) + (partial^2 f)/(partial z^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
Quindi ipotizzo ciò:
Se poniamo:
$f_1:RR^4->RR,(x,y,z,t)->f_1(x,y,z,t)$
$f_2:RR^3->RR,(x,y,z)->f_1(x,y,z,t)$ con $t$ parametro.
Allora l'equazione di d'Alembert diventa:
$nabla^2f_2=1/v^2(partial^2f_1)/(partial t^2)$
Con abuso di notazione identifico $f_2$ con $f_1$ a patto di considerare l'azione del Laplaciano solo sulle coordinate spaziali.
$nabla_(text{spaz})^2f_1=1/v^2(partial^2f_1)/(partial t^2)$
Dici che ha un senso quello che ho scritto o sono ubriaco ?
"lordb":
Forse ho capito,
ho letto sul P&S che l'equazione di d'Alembert sarebbe:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial y^2) + (partial^2 f)/(partial z^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
ma è anche quella che ho scritto io
l'equazione delle onde (o di d'alembert, o d'alembertiano) credo sia da prendere semplicemente per quel che è:
$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial y^2) + (partial^2 f)/(partial z^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$
dove puoi riscrivere la prima parte come un laplaciano $\nabla^2$ che agisce sulle variabili $x$, $y$, $z$.
non penso ci sia molto di più profondo da sapere.
quel che tu hai scritto con $f_1$ ed $f_2$ è di fatto la stessa cosa che sostenere appunto quel che ho appena ribadito. non ho però mai visto un passaggio del genere nè su libri nè a lezione.
Sisi,
infatti intendevo dire che è quello che hai scritto tu.
infatti intendevo dire che è quello che hai scritto tu.
Perfetto, allora direi che va bene così.
Ti ringrazio, alla prossima !
Ti ringrazio, alla prossima !
@lordb: il succo è che l'operatore $\nabla$ agisce solo sulle coordinate spaziali.
"ciampax":
@lordb: il succo è che l'operatore $\nabla$ agisce solo sulle coordinate spaziali.
eh no ciampa!
stavolta ti ho fregato! ho dato la stessa risposta prima di te
Sì, avevo visto: è che lo volevo ribadire a lordb!
"ciampax":
@lordb: il succo è che l'operatore $\nabla$ agisce solo sulle coordinate spaziali.
Sisi, ok.
Ma solo in questo caso (ovvero si ha un abuso di notazione).
No lordb, permettimi di dissentire: per definizione, l'operatore $\nabla$ viene sempre pensato come un operatore differenziale definito su $RR^n$ pensato come "insieme di coordinate spaziali": quando vuoi indicare l'operatore che agisce su coordinate spaziali e temporali, esso è un operatore su $RR^n\times RR$ definito come la coppia $(\nabla,\partial/{\partial t})$.
Perdona la pignoleria, ma il $\nabla$ è un operatore che va definito correttamente e compreso nella sua interezza, altrimenti non se ne esce vivi. E del resto, se fosse come dici tu (cioè che esso si pensa anche come derivata temporale) non avrebbe senso definire il Dalembertiano, non ti pare? A quel punto il Laplaciano avrebbe lo stesso significato.
Perdona la pignoleria, ma il $\nabla$ è un operatore che va definito correttamente e compreso nella sua interezza, altrimenti non se ne esce vivi. E del resto, se fosse come dici tu (cioè che esso si pensa anche come derivata temporale) non avrebbe senso definire il Dalembertiano, non ti pare? A quel punto il Laplaciano avrebbe lo stesso significato.
Ahh allora ho capito!
Quindi in generale non è vero (quello che pensavo) che:
Sia $f:RR^n->RR$, $finC_(RR)^1$, allora: $nabla f -= text{grad} f$.
Perchè ovviamente $text{grad} f:RR^n->RR^n$ mentre se abbiamo $m < n$ coordinate spaziali $nabla f:RR^n->RR^m$.
Ma sotto quest'ottica non avrebbe senso utilizzare il simbolo $nabla$ nei corsi di Analisi Matematica (il mio prof. usava la notazione $text{grad}$, $text{rot}$,$text{div}$), altrimenti bisognerebbe dare un significato fisico a tutte le variabili!
Quindi in generale non è vero (quello che pensavo) che:
Sia $f:RR^n->RR$, $finC_(RR)^1$, allora: $nabla f -= text{grad} f$.
Perchè ovviamente $text{grad} f:RR^n->RR^n$ mentre se abbiamo $m < n$ coordinate spaziali $nabla f:RR^n->RR^m$.
Ma sotto quest'ottica non avrebbe senso utilizzare il simbolo $nabla$ nei corsi di Analisi Matematica (il mio prof. usava la notazione $text{grad}$, $text{rot}$,$text{div}$), altrimenti bisognerebbe dare un significato fisico a tutte le variabili!
lordb, mi sa che non hai capito: il $\nabla$ serve esattamente a definire gradiente e divergenza e rotore: solo che questi operatori agiscono solo su coordinate spaziali.
Scusa, le equazioni di Maxwell le hai mai viste? Ti pare che la derivata rispetto al tempo della densità di corrente sia inclusa nell'operatore $\nabla$ o sia tenuta fuori?
Scusa, le equazioni di Maxwell le hai mai viste? Ti pare che la derivata rispetto al tempo della densità di corrente sia inclusa nell'operatore $\nabla$ o sia tenuta fuori?
Infatti io ho solo detto che l'utilizzo dell'operatore Nabla per come è definito non dovrebbe trovare spazio nei testi di Analisi, come invece accade, dicendo che è un altro simbolo per indicare il gradiente (perchè è quanto meno ovvio che dire "gradiente di una funzione" e "gradiente di una funzione che agisce solo sulle coordinate spaziali" sono cose differenti).
Conosco (si spera ) le equazioni di Maxwell sia nella forma canonica e in quella relativistica, proprio per quella incomprensione che ti ho scritto sopra non capivo bene perchè la variabile temporale fosse sempre esclusa nell'utilizzo dei suddetti operatori .
Hai compreso quale fosse il mio problema? Ti trovi in disaccordo ?
Conosco (si spera
) le equazioni di Maxwell sia nella forma canonica e in quella relativistica, proprio per quella incomprensione che ti ho scritto sopra non capivo bene perchè la variabile temporale fosse sempre esclusa nell'utilizzo dei suddetti operatori .Hai compreso quale fosse il mio problema? Ti trovi in disaccordo ?
Ah scusa, non avevo compreso io cosa volessi dire. Però di nuovo non sono proprio d'accordo: il nabla viene.indicato come oggetto geometrico e definito come vettore composto dalle derivate parziali in uno spazio di sole coordinate spaziali. Come dicevo prima la sua estensione corretta ad uno spazio di tipo $RR^n\times [0,+\infty)$ deve essere pensata come un nuovo vettore composto dalla coppia $(\nabla,\partial/{\partial t})$. La definizione che si fa di nabla nei corsi di analisi è del tutto corretta, non vedo dove stia il problema.
E del resto la variabile è differente dalle altre, non fosse altro perché viene definita con soli valori positivi.
E del resto la variabile è differente dalle altre, non fosse altro perché viene definita con soli valori positivi.
Ok, perfetto!
Ringrazio tanto te e Ziel van brand per avermi rischiarato le idee.
Ringrazio tanto te e Ziel van brand per avermi rischiarato le idee
.
ah ecco. questo "il nabla viene.indicato come oggetto geometrico e definito come vettore composto dalle derivate parziali in uno spazio di sole coordinate spaziali." io non lo sapevo.
ciampa ne sa sempre una più del mio professore
ciampa ne sa sempre una più del mio professore
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