PDE: Equazione di d'Alembert

[lordb]

Ciao a tutti,
vorrei discutere un attimo sull'equazione di d'Alembert nel caso di onde piane.

Ho messo dei punti interrogativi rossi "? " dove ho dei dubbi.

Sia $f:AsubRR^n->RR$, $f in C_(RR)^2, v in RR$.

$nabla^2 f = 1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$

E' un'equazione di secondo ordine alle derivate parziali omogenea, ed è caratteristica delle funzioni il cui grafico è un'onda che si muove a velocità $v$.

Nel caso di $n=2$ si trova che ad esempio un'onda piana progressiva è soluzione dell'equazioni. E si scrive come:

$f(x,t)=f_0*f(x-vt)$ ?

Ma se $f:AsubRR^2->RR$ la scrittura $f(x-vt)$ non dovrebbe avere alcun senso, no ?

Se invece avessimo una cosa del tipo:

$psi:RR->RR,psi in C_(RR)^2$

$f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$

Non sarebbe più logico ?

Poi un'altra cosa, provo a mostrare che $f:AsubRR^2->RR,(x,t)->psi_0*psi(x-vt)$ è soluzione dell'equazione di d'Alembert.

$(partial f)/(partial x)=psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial x^2)=psi_0*psi''(x-vt)$

$(partial f)/(partial t)=-v*psi_0*psi'(x-vt)->(partial^2 f)/(partial t^2)=v^2*psi_0*psi''(x-vt)$

Sostituendo si deve avere:

$(partial^2 f)/(partial x^2)+(partial^2 f)/(partial t^2)=1/v^2(partial^2f)/(partial t^2)$

$psi_0*psi''(x-vt)+v^2*psi_0*psi''(x-vt)=psi_0*psi''(x-vt)$ ?

Perfetto non viene.

Grazie in anticipo !

[gugo82]

Aggiungo rapidamente una cosa, perché mi sembra che nessuno abbia insistito su un odioso abuso di notazione che ogni volta si perpreta ai danni delle povere funzioni.

Un'onda viaggiante è una funzione \(f:\mathbb{R}^N\times [0,\infty[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x,t)=\phi (x+tv)\; ,
\]
ove \(v\in \mathbb{R}^N\) è la velocità dell'onda e \(\phi:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è la forma d'onda.

Quindi scrivere \(f(x,t)=f(x+tv)\) è un abuso di notazione bello e buono (che di solito viene tollerato perché consente di non far proliferare le funzioni in gioco, introducendo tutte le varie \(\phi\) del caso).

[lordb]

Infatti l'ho scritto proprio nel primo post che quella notazione che ho trovato non aveva senso.

[ciampax]

"gugo82":Aggiungo rapidamente una cosa, perché mi sembra che nessuno abbia insistito su un odioso abuso di notazione che ogni volta si perpreta ai danni delle povere funzioni.

Un'onda viaggiante è una funzione \(f:\mathbb{R}^N\times [0,\infty[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x,t)=\phi (x+tv)\; ,
\]
ove \(v\in \mathbb{R}^N\) è la velocità dell'onda e \(\phi:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è la forma d'onda.

Quindi scrivere \(f(x,t)=f(x+tv)\) è un abuso di notazione bello e buono (che di solito viene tollerato perché consente di non far proliferare le funzioni in gioco, introducendo tutte le varie \(\phi\) del caso).

In realtà era quello da cui volevo partire, ma visto che la discussione si era incentrata sugli operatori differenziali, poi l'ho dimenticato. Mea culpa.