PDE dubbio risoluzione

[MMPP12]

Ciao a tutti! sto svolgendo la seguente equazione:

$\triangle u -27 u = 0$ sul rettangolo $(0,\pi) X (0,1)$

con le seguenti condizioni al bordo:

$ u(x,0) = sin(3x) \qquad
u(x,1) = 0 \qquad
u(0,y) =0 \qquad
u(\pi,y)=0 $

procedendo per separazione di variabili ho cercato una funzione
$u(x,y)= A(x)B(y)$

e quindi $A''B+AB''-27AB=0$ da cui dividendo per AB trovo

$(A'')/A+(B'')/B=27$

se non ci fosse il 27 continuerei risolvendo le due edo $A''=kA \qquad B''=-kB$ , ma come continuo in questo caso?

[sapo931]

$27$ è un numero, che quindi non dipende ne da $x$ ne da $y$. Procedi dunque esattamente allo stesso modo, solo che hai in più il $27$ da mettere in una delle due equazioni

$ (A'')/A = - (B'')/B + 27 \qquad = k$

da cui

$ A''=kA $
$ B''=-kB + 27k = -k(B+27)$

facendo poi la sostituzione
$ C(y) = B(y) + 27 \qquad \rightarrow \qquad C'' = B''$

l'equazione per $B(y)$ diventa
$ C''=-kC $

[MMPP12]

Grazie mille!!