PDE 1

[Principe2]

Per $t\ge0$ e $0\le x\le2$ si consideri l'equazione parabolica $u_t=u_{xx}+tcos((\pi x)/2)$ con dato iniziale $u(x,0)=sin((\pi x)/2)$ e condizioni al contorno $u_x(0,t)=u_x(2,t)=0$. Usando il metodo di Fourier si dimostri che esistono costanti $a,b,c$ tali che per ogni $k<\pi^2/4$ risulti

$lim_{t->\infty}e^{kt}max_{x\in[0,2]}|u(x,t)-a-(bt+c)cos((\pi x)/2)|=0$

P.s. cos'è il metodo di Fourier?

[ViciousGoblin]

Cerchi la soluzione come una serie di Fourier nella variabile spaziale. In questo caso, dato che le condizioni al contorno sono
di derivata nulla, devi cercare $u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty a_n(t)cos(n \pi/2 x)$. Allora (formalmente ma poi le cose si aggiustano) trovi
$a_n''(t)=-n^2(\pi/2)^2 a_n(t)+\delta_{n,1}t$
da cui ricavi $a_n(t)$ e vai avanti

EHHM sei sicuro che ci sia $u_x$ ? quello che ho scritto sopra vale nel caso dell'equazione del calore, con $u_{x x}$

[gugo82]

"ViciousGoblinEnters":EHHM sei sicuro che ci sia $u_x$ ? quello che ho scritto sopra vale nel caso dell'equazione del calore, con $u_{x x}$

Beh, parlava di equazione parabolica... quindi credo si sia perso semplicemente un $x$ per la strada.

[elgiovo]

Confermo che si tratta di un'equazione del calore: quotando il messaggio si vede che xx è diventato una specie di $times$.

[Principe2]

è un'equazione del calore... ora provo a vedere i dettagli, semmai mi rifaccio vivo