PdC, condizioni iniziali per esistenza sol. in avanti.
Salve a tutti, avrei un problema con il seguente esercizio:
Risolvere il problema di Cauchy:
\[ y\prime = \frac{y^2}{x^2+1}, \qquad y(0)=y_0 \]
e determinare per quali valori di \( y0 \) la soluzione e' definita nell’intervallo \( [0,\,+\infty) \).
Preliminarmente ho osservato che \( f(x,y) = \frac{y^2}{x^2+1} \) e' continua, verificando cosi' il teorema di Peano per l'esistenza locale. Inoltre \( \frac{\partial f}{\partial y} \) e' altresi' continua verificando il teorema di unicita' locale di Cauchy-Lipschitz.
E' evidente che \( y\prime \) sia sempre positiva, quindi \( y \) e' sempre crescente. Inoltre \( y(x) \equiv 0 \) rappresenta una soluzione stazionaria che "blocca" un'eventuale esplosione di \( y \) per \( y_0 < 0 \) ( due soluzioni non possono avere punti comuni, teorema di unicita').
Purtroppo non so come procedere per \( y_0 > 0 \), ragion per cui ho scritto in questo forum.
Risolvendo analiticamente il pdC, ottengo
\[ y = \frac{y_0}{1 - \arctan{x}\cdot y_0} \]
Grazie per la disponibilita'
Antonio
Risolvere il problema di Cauchy:
\[ y\prime = \frac{y^2}{x^2+1}, \qquad y(0)=y_0 \]
e determinare per quali valori di \( y0 \) la soluzione e' definita nell’intervallo \( [0,\,+\infty) \).
Preliminarmente ho osservato che \( f(x,y) = \frac{y^2}{x^2+1} \) e' continua, verificando cosi' il teorema di Peano per l'esistenza locale. Inoltre \( \frac{\partial f}{\partial y} \) e' altresi' continua verificando il teorema di unicita' locale di Cauchy-Lipschitz.
E' evidente che \( y\prime \) sia sempre positiva, quindi \( y \) e' sempre crescente. Inoltre \( y(x) \equiv 0 \) rappresenta una soluzione stazionaria che "blocca" un'eventuale esplosione di \( y \) per \( y_0 < 0 \) ( due soluzioni non possono avere punti comuni, teorema di unicita').
Purtroppo non so come procedere per \( y_0 > 0 \), ragion per cui ho scritto in questo forum.
Risolvendo analiticamente il pdC, ottengo
\[ y = \frac{y_0}{1 - \arctan{x}\cdot y_0} \]
Grazie per la disponibilita'
Antonio
Risposte
Penso che sia una conclusione abbastanza rapida dovuta al fatto che hai dimostrato che esiste soluzione locale, chiama $\phi$ tale soluzione. $\phi$ sarà definita in $x_{0}$ e sull'intervallo generico $[x_{0},x_{0}+\delta]$, per un opportuno $\delta$. Esiste dunque $\lim_{x \to w}\phi(x)=\phi_{w}$, con $w=x_{0}+\delta$. Hai dimostrato che $\phi$ è crescente sempre, quindi sicuramente $y_{0}<\phi_{w}<\infty$. Se tu ora ridefinisci un nuovo problema di Cauchy del tipo:
\[ y′=\frac{y^2}{x^{2}+1} , y(w)=\phi_{w} \]
Questo PC ha sicuramente soluzione locale perchè l'hai dimostrato prima, quindi per generalità di w puoi concludere che $\AA y_{0}>0$ $ \EE \lim_{x \to \infty}\phi(x)$.
\[ y′=\frac{y^2}{x^{2}+1} , y(w)=\phi_{w} \]
Questo PC ha sicuramente soluzione locale perchè l'hai dimostrato prima, quindi per generalità di w puoi concludere che $\AA y_{0}>0$ $ \EE \lim_{x \to \infty}\phi(x)$.
Grazie Nomadje per la risposta, tuttavia non mi e' chiaro un punto, ovvero come faccio a vedere che tale limite pur esistendo non sia finito, ovvero che \( y \) sia definita per ogni \( x \geq 0 \). Ho porvato ad utilizzare un software, Maxima, per il disegno del campo delle pendenze, riscontrando che effettivamente per determintate condizioni iniziali \( ( y_0 , 0) \) la soluzione esplode.
http://imagebin.org/197083
Grazie ancora
Antonio
ps con esplode ho inteso che la funzione ha un asintoto verticale
http://imagebin.org/197083
Grazie ancora
Antonio
ps con esplode ho inteso che la funzione ha un asintoto verticale
Per \(y_0\neq 0\) la soluzione è definita implicitamente da
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{y_0} - \arctan x . \]
Se \(y_0 > 0\) il dominio massimale della soluzione è dato dalla componente connessa contenente \(x_0 = 0\) dell'insieme delle soluzioni della disuguaglianza
\[ \frac{1}{y_0} - \arctan x > 0 . \]
(Analogamente si ragiona se \( y_0 < 0\).)
Di conseguenza, se \( 0 2/\pi\), allora l'intervallo massimale di definizione è \( (-\infty, \tan\frac{1}{y_0})\).
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{y_0} - \arctan x . \]
Se \(y_0 > 0\) il dominio massimale della soluzione è dato dalla componente connessa contenente \(x_0 = 0\) dell'insieme delle soluzioni della disuguaglianza
\[ \frac{1}{y_0} - \arctan x > 0 . \]
(Analogamente si ragiona se \( y_0 < 0\).)
Di conseguenza, se \( 0
Grazie Rigel, sei stato chiarissimo e mi hai fatto capire come ragionare in casi simili.
Antonio
Antonio
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