PdC con $ (y'(x))^2 $
Il problema di cauchy è il seguente:
$ { ( y''(x)+(y'(x))^2=1 ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
E' la prima volta che mi trovo davanti un termine $ y' $ al quadrato e non so bene come operare. Ho pensato di porre sotto radice ambi i membri $ root()(y''(x)+(y(x))^2)=1->root()(y''(x))+y'(x)=1 $ per poi svolgere normalmente andando a ricavarmi soluzione generale e particolare (applicando il metodo della somiglianza) ma non arrivo a nulla. Qualcuno può indicarmi la strada da seguire?
$ { ( y''(x)+(y'(x))^2=1 ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
E' la prima volta che mi trovo davanti un termine $ y' $ al quadrato e non so bene come operare. Ho pensato di porre sotto radice ambi i membri $ root()(y''(x)+(y(x))^2)=1->root()(y''(x))+y'(x)=1 $ per poi svolgere normalmente andando a ricavarmi soluzione generale e particolare (applicando il metodo della somiglianza) ma non arrivo a nulla. Qualcuno può indicarmi la strada da seguire?
Risposte
Ciao
Potresti provare ad abbassare il grado con la sostituzione $y'(x)=z(x)$ e $z'(x)=y''(x)$.
In questo modo la tua EDO diventa;
$z'(x)+z^2(x)=1$, questa è una eq a variabili separabili risolvibile.
Una volta trovata la $z(x)$ ti basterà calcolare $y(x)=intz(x,c)dx$
E un'altra cosa, non meno importante, questa uguaglianza non è vera $sqrt(y''(x)+y'^2(x))=sqrt(y''(x))+sqrt((y'(x))^2)$
Non puoi spezzare il radicando, solo i prodotti possono essere spezzati.
Spero di esserti stato d'aiuto e di non aver fatto troppi errori
....
Potresti provare ad abbassare il grado con la sostituzione $y'(x)=z(x)$ e $z'(x)=y''(x)$.
In questo modo la tua EDO diventa;
$z'(x)+z^2(x)=1$, questa è una eq a variabili separabili risolvibile.
Una volta trovata la $z(x)$ ti basterà calcolare $y(x)=intz(x,c)dx$
E un'altra cosa, non meno importante, questa uguaglianza non è vera $sqrt(y''(x)+y'^2(x))=sqrt(y''(x))+sqrt((y'(x))^2)$
Non puoi spezzare il radicando, solo i prodotti possono essere spezzati.
Spero di esserti stato d'aiuto e di non aver fatto troppi errori
....
A scusa dimenticavo il problema di Cauchy,
Quando hai trovato la $z(x)$ devi imporre la prima condizione $y'(0)=1$, poiché $z(x)=y'(x)$. Ed infine quando hai calcolato l'integrale $ y(x)=intz(x,c)dx $ imponi la seconda condizione $y(0)=0$, avendo appunto dall'integrale una costante d'integrazione. Se non sbaglio questo è il procedimento da seguire... Ciaooo
Quando hai trovato la $z(x)$ devi imporre la prima condizione $y'(0)=1$, poiché $z(x)=y'(x)$. Ed infine quando hai calcolato l'integrale $ y(x)=intz(x,c)dx $ imponi la seconda condizione $y(0)=0$, avendo appunto dall'integrale una costante d'integrazione. Se non sbaglio questo è il procedimento da seguire... Ciaooo
Si vabbè non stavo più capendo nulla, hai più che ragione sull'impossibilità di spezzare il radicando, mi cospargo il capo di cenere. Comunque nonostante il tuo aiuto non riesco a cavare un ragno dal buco
Allora espongo la mia soluzione approssimativa;
Abbiamo questo problema di Cauchy
$ { ( y''(x)+(y'(x))^2=1 ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
Utilizziamo questo cambiamento di variabili $ y'(x)=z(x) $ e $ z'(x)=y''(x) $, quindi la nostra equazione si trasforma in questa $ z'(x)+z^2(x)=1 $ che sappiamo essere a variabili separabili. Ora basta calcolare la $z(x)$, quindi abbiamo $int1/(1-z^2)dz=intdx$, possiamo spezzare $1/(1-z^2)=1/2(1/(1-z)+1/(1+z))$, perciò abbiamo $int1/(1-z^2)dz=1/2(int1/(1-z)dz+int1/(1+z)dz)=1/2ln(|z+1|/|1-z|)$.
Dunque arriviamo all'equazione seguente, $ln(|z+1|/|1-z|)=2(x+c)$,$(|z+1|/|1-z|)=e^(2x)*e^(2c)$.
Qui dobbiamo stare attenti al denominatore che si annulla per $z=1$, quindi controlliamo se $z=1$ è soluzione particolare di $ z'(x)+z^2(x)=1$ ed effettivamente lo è. Quindi continuiamo e dopo alcuni passaggi algebrici troviamo la soluzione $z(x)=(e^(2x)-e^(2c))/(e^(2x)+e^(2c))$. Adesso, sapendo che $ y'(x)=z(x) $, applichiamo la prima condizione di Cauchy $ y'(0)=1 $ e troviamo che la costante $c=0$ di conseguenza la soluzione diventa $z(x)=(e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)$. Ora il prossimo passo da fare è calcolare $y(x)=intz(x)dx=int (e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)dx=ln(e^(2x)+1)-x+c$, imporre la condizione $ y(0)=0 $, trovando che la costante $c=-ln2$, perciò la nostra funzione da trovare è $y(x)=ln(e^(2x)+1)-(x+ln2)$.
Questa dovrebbe essere la funzione da trovare con qualche errore...Ciaoo
Abbiamo questo problema di Cauchy
$ { ( y''(x)+(y'(x))^2=1 ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
Utilizziamo questo cambiamento di variabili $ y'(x)=z(x) $ e $ z'(x)=y''(x) $, quindi la nostra equazione si trasforma in questa $ z'(x)+z^2(x)=1 $ che sappiamo essere a variabili separabili. Ora basta calcolare la $z(x)$, quindi abbiamo $int1/(1-z^2)dz=intdx$, possiamo spezzare $1/(1-z^2)=1/2(1/(1-z)+1/(1+z))$, perciò abbiamo $int1/(1-z^2)dz=1/2(int1/(1-z)dz+int1/(1+z)dz)=1/2ln(|z+1|/|1-z|)$.
Dunque arriviamo all'equazione seguente, $ln(|z+1|/|1-z|)=2(x+c)$,$(|z+1|/|1-z|)=e^(2x)*e^(2c)$.
Qui dobbiamo stare attenti al denominatore che si annulla per $z=1$, quindi controlliamo se $z=1$ è soluzione particolare di $ z'(x)+z^2(x)=1$ ed effettivamente lo è. Quindi continuiamo e dopo alcuni passaggi algebrici troviamo la soluzione $z(x)=(e^(2x)-e^(2c))/(e^(2x)+e^(2c))$. Adesso, sapendo che $ y'(x)=z(x) $, applichiamo la prima condizione di Cauchy $ y'(0)=1 $ e troviamo che la costante $c=0$ di conseguenza la soluzione diventa $z(x)=(e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)$. Ora il prossimo passo da fare è calcolare $y(x)=intz(x)dx=int (e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)dx=ln(e^(2x)+1)-x+c$, imporre la condizione $ y(0)=0 $, trovando che la costante $c=-ln2$, perciò la nostra funzione da trovare è $y(x)=ln(e^(2x)+1)-(x+ln2)$.
Questa dovrebbe essere la funzione da trovare con qualche errore...Ciaoo
Io ho applicato il metodo di integrazione dei fratti semplici al momento di spezzare l'integrale:
$ int1/(1-z^2)=int1/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)=(A(1-z)+B(1+z))/((1+z)(1-z))=(A-zA+B+zB)/((1+z)(1-z))=(A+B-z(A-B))/((1+z)(1-z)) $. Tuttavia applicando il sistema riscontro un problema di segno:
$ { ( A+B=1 ),( A-B=0 ):}{ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $ da cui si ottiene $ 1/2log(1+z)+1/2log(1-z) $ e non $ 1/2log(1+z)-1/2log(1-z) $ . Non riesco a capirne il motivo
$ int1/(1-z^2)=int1/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)=(A(1-z)+B(1+z))/((1+z)(1-z))=(A-zA+B+zB)/((1+z)(1-z))=(A+B-z(A-B))/((1+z)(1-z)) $. Tuttavia applicando il sistema riscontro un problema di segno:
$ { ( A+B=1 ),( A-B=0 ):}{ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $ da cui si ottiene $ 1/2log(1+z)+1/2log(1-z) $ e non $ 1/2log(1+z)-1/2log(1-z) $ . Non riesco a capirne il motivo
Ciao premetto che non sono molto allenato con i fratti semplici, ma adottando il giusto procedimento mi viene anche a me positivo, quindi non trovo l'errore. Il metodo più veloce e che sono sicuro sia corretto è il seguente;
$1/(1-z^2)=1/2[1/(1-z)+1/(1+z)]$ questa è la scomposizione più naturale, se non ti torna prova a calcolarlo tu stesso.
Ora fai l'integrale a entrambi i membri e avrai questa uguaglianza
$int 1/(1-z^2)dx=1/2int[1/(1+z)+1/(1-z)]dx=1/2int1/(1+z)dx+1/2int1/(1-z)dx
=1/2ln(1+z)-1/2ln(1-z)=1/2ln((1+z)/(1-z))$
Il meno è dovuto al meno che compare fuori se lo derivi, $D[-1/2ln(1-z)]=1/(2(1-z))$
Ciaooo
$1/(1-z^2)=1/2[1/(1-z)+1/(1+z)]$ questa è la scomposizione più naturale, se non ti torna prova a calcolarlo tu stesso.
Ora fai l'integrale a entrambi i membri e avrai questa uguaglianza
$int 1/(1-z^2)dx=1/2int[1/(1+z)+1/(1-z)]dx=1/2int1/(1+z)dx+1/2int1/(1-z)dx
=1/2ln(1+z)-1/2ln(1-z)=1/2ln((1+z)/(1-z))$
Il meno è dovuto al meno che compare fuori se lo derivi, $D[-1/2ln(1-z)]=1/(2(1-z))$
Ciaooo
Ho ricontrollato: semplicemente perché $ -(A-B)=-A+B $.
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