Pb. di Cauchy EDO II ordine non lineare
Ragazzi ho dei problemi nel risolvere questo problema di Cauchy
Devo calcolare l'integrale che verifica le rispettive condizioni iniziali.
Il mio impedimento sta nell'integrazione dell'equazione.
\(\displaystyle y''-\frac{e^y}{2}=0 \)
\(\displaystyle y(0)=log\frac{16}{9} \)
\(\displaystyle y'(0)=\frac{5}{3} \)
Ho iniziato a svolgerlo
\(\displaystyle \frac{dy'}{dy}y'=\frac{e^y}{2} \rightarrow (y')^2 = e^y+c_1 \rightarrow y' = \pm \sqrt{e^y+c_1} \)
\(\displaystyle \pm x = \int{\frac{dy}{\sqrt{e^y+c_1}}} \)
ora ho svolto questo integrale per sostituzione ponendo \(\displaystyle t = \sqrt{e^y+c_1} \)
e come risultato finale dell'integrale (se non ho sbagliato i conti) ottengo:
\(\displaystyle \int{\frac{dy}{\sqrt{e^y+c_1}}} = \frac{\sqrt{c_1}}{c_1}log{\frac{|\sqrt{e^y+c_1}-\sqrt{c_1}|}{|\sqrt{e^y+c_1}+\sqrt{c_1}|}} \)
quindi:
\(\displaystyle \pm x = \frac{\sqrt{c_1}}{c_1}log{\frac{|\sqrt{e^y+c_1}-\sqrt{c_1}|}{|\sqrt{e^y+c_1}+\sqrt{c_1}|}} \)
da qui in poi ho iniziato a fare tutti i conti necessari per isolare \(\displaystyle y \) e trovare l'espressione dell'integrale generale ma i conti mi si complicano terribilmente per questo temo di aver fatto qualche errore. Avrei bisogno di un aiuto!
Devo calcolare l'integrale che verifica le rispettive condizioni iniziali.
Il mio impedimento sta nell'integrazione dell'equazione.
\(\displaystyle y''-\frac{e^y}{2}=0 \)
\(\displaystyle y(0)=log\frac{16}{9} \)
\(\displaystyle y'(0)=\frac{5}{3} \)
Ho iniziato a svolgerlo
\(\displaystyle \frac{dy'}{dy}y'=\frac{e^y}{2} \rightarrow (y')^2 = e^y+c_1 \rightarrow y' = \pm \sqrt{e^y+c_1} \)
\(\displaystyle \pm x = \int{\frac{dy}{\sqrt{e^y+c_1}}} \)
ora ho svolto questo integrale per sostituzione ponendo \(\displaystyle t = \sqrt{e^y+c_1} \)
e come risultato finale dell'integrale (se non ho sbagliato i conti) ottengo:
\(\displaystyle \int{\frac{dy}{\sqrt{e^y+c_1}}} = \frac{\sqrt{c_1}}{c_1}log{\frac{|\sqrt{e^y+c_1}-\sqrt{c_1}|}{|\sqrt{e^y+c_1}+\sqrt{c_1}|}} \)
quindi:
\(\displaystyle \pm x = \frac{\sqrt{c_1}}{c_1}log{\frac{|\sqrt{e^y+c_1}-\sqrt{c_1}|}{|\sqrt{e^y+c_1}+\sqrt{c_1}|}} \)
da qui in poi ho iniziato a fare tutti i conti necessari per isolare \(\displaystyle y \) e trovare l'espressione dell'integrale generale ma i conti mi si complicano terribilmente per questo temo di aver fatto qualche errore. Avrei bisogno di un aiuto!
Risposte
Ok, non mi è chiaro il passaggio in cui integri rispetto a x per la prima volta. Ma a parte questo, il mio procedimento è sbagliato? Se sì, in cosa?
Benissimo! Il non aver scritto la seconda costante è stato un mio errore di battitura dato che nello svolgimento sul quaderno l'ho inserita. Mi è stato utile il suggerimento sulla razionalizazione dell'argomento del logaritmo, io non ci avevo minimamente pensato!
Il calcolo è stato molto oneroso infatti, avendo anch'io provato a verificare su wolfram, mi son ritrovato davanti quella tangente iperbolica e non avendola studiata, non ero sicuro che la mia soluzione fosse equivalente quindi corretta. Grazie mille!!
Il calcolo è stato molto oneroso infatti, avendo anch'io provato a verificare su wolfram, mi son ritrovato davanti quella tangente iperbolica e non avendola studiata, non ero sicuro che la mia soluzione fosse equivalente quindi corretta. Grazie mille!!
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