Passo induttivo e assioma di Peano
Salve a tutti,
pur senza frequentare un'università ho deciso di interessarmi alla matematica, in quanto feci solo esami di matematica generale e i ricordi ormai sono anche un po sfumati.
Uno dei primi principi che ho incontrato è la necessità di generalizzare un teorema, quindi ho studiato l'assioma di Peano e il passo induttivo.
Su quest'ultimo nutro qualche dubbio che mi piacerebbe discutere con voi. L'ho studiato sul teorema di Eulero che se ho capito bene è:
\(\displaystyle n^2-n+41 \text{ è primo} \)
Ho studiato e verificato sia con la calcolatrice che con un software che quest'affermazione può trarre in inganno fino a:
\(\displaystyle n=41 \text{ per il quale si ottiene } 41^2 \)
Dunque la mia domanda è la seguente:
Come si fa ad estendere la veridicità di un teorema se chiaramente non lo si può calcolare per tutti i valori esistenti o immaginabili?
Se vogliamo, con il teorema di Eulero, si è fortunati a trovare quasi immediatamente la confutazione dell'affermazione, ma se fosse stato un numero particolarmente grande da calcolare con le nostre tecnologie?
So che probabilmente con le prossime lezioni, mi verrà chiarito questo dubbio, ma mi è sorta la curiosità di approfondire come si estende una verità matematica con il passo induttivo e spero che qualcuno vorrà anticiparmi qualcosa.
Scusate per la banalità della questione e grazie anticipatamente.
pur senza frequentare un'università ho deciso di interessarmi alla matematica, in quanto feci solo esami di matematica generale e i ricordi ormai sono anche un po sfumati.
Uno dei primi principi che ho incontrato è la necessità di generalizzare un teorema, quindi ho studiato l'assioma di Peano e il passo induttivo.
Su quest'ultimo nutro qualche dubbio che mi piacerebbe discutere con voi. L'ho studiato sul teorema di Eulero che se ho capito bene è:
\(\displaystyle n^2-n+41 \text{ è primo} \)
Ho studiato e verificato sia con la calcolatrice che con un software che quest'affermazione può trarre in inganno fino a:
\(\displaystyle n=41 \text{ per il quale si ottiene } 41^2 \)
Dunque la mia domanda è la seguente:
Come si fa ad estendere la veridicità di un teorema se chiaramente non lo si può calcolare per tutti i valori esistenti o immaginabili?Se vogliamo, con il teorema di Eulero, si è fortunati a trovare quasi immediatamente la confutazione dell'affermazione, ma se fosse stato un numero particolarmente grande da calcolare con le nostre tecnologie?
So che probabilmente con le prossime lezioni, mi verrà chiarito questo dubbio, ma mi è sorta la curiosità di approfondire come si estende una verità matematica con il passo induttivo e spero che qualcuno vorrà anticiparmi qualcosa.Scusate per la banalità della questione e grazie anticipatamente.
Risposte
"ildecarlo":
:?: Come si fa ad estendere la veridicità di un teorema se chiaramente non lo si può calcolare per tutti i valori esistenti o immaginabili?
Usando strumenti matematici come, per l'appunto, il principio di induzione matematica ...
Lo hai già studiato? Ne hai visto qualche dimostrazione o l'hai appreso come assioma?
Cordialmente, Alex
Ciao e innanzitutto grazie per avermi risposto!
Il principio l'ho studiato così:
Se la famiglia di proposizioni \(\displaystyle P(n),n \) naturale, verifica le condizioni:
1) \(\displaystyle P(0) \) è vera;
2)Per ogni \(\displaystyle n \), dall'ipotesi che \(\displaystyle P(n) \) è vera segue che \(\displaystyle P(n+1) \) è vera, allora \(\displaystyle P(n) \) è vera per ogni naturale \(\displaystyle n \)
Il principio di induzione l'ho visto anche con qualche esempio, cito:
La somma dei numeri naturali \(\displaystyle n-1 \) vale \(\displaystyle \frac{n\cdot(n+1)}{2} \)
Dunque fino a qualche tempo fa mi sarei accontentato, perché mi pareva logico quanto scritto.
Poi però ho scoperto il teorema di Eulero che citavo prima e il suo trabocchetto che giunge al 41.
Dunque mi sono chiesto, e se la confutazione di un teorema arrivasse per una cifra talmente grande che oggi risulta incalcolabile? Come affermare con certezza che è vero per tutto \(\displaystyle \mathbb{N} \) ad esempio?
Mi rendo conto anche io del'ingenuità della mia domanda, perciò torno a scusarmi, ma non mi è altrettanto chiara la risposta.
Grazie infinite.
Il principio l'ho studiato così:
Se la famiglia di proposizioni \(\displaystyle P(n),n \) naturale, verifica le condizioni:
1) \(\displaystyle P(0) \) è vera;
2)Per ogni \(\displaystyle n \), dall'ipotesi che \(\displaystyle P(n) \) è vera segue che \(\displaystyle P(n+1) \) è vera, allora \(\displaystyle P(n) \) è vera per ogni naturale \(\displaystyle n \)
Il principio di induzione l'ho visto anche con qualche esempio, cito:
La somma dei numeri naturali \(\displaystyle n-1 \) vale \(\displaystyle \frac{n\cdot(n+1)}{2} \)
Dunque fino a qualche tempo fa mi sarei accontentato, perché mi pareva logico quanto scritto.
Poi però ho scoperto il teorema di Eulero che citavo prima e il suo trabocchetto che giunge al 41.
Dunque mi sono chiesto, e se la confutazione di un teorema arrivasse per una cifra talmente grande che oggi risulta incalcolabile? Come affermare con certezza che è vero per tutto \(\displaystyle \mathbb{N} \) ad esempio?
Mi rendo conto anche io del'ingenuità della mia domanda, perciò torno a scusarmi, ma non mi è altrettanto chiara la risposta.
Grazie infinite.
La domanda non è per niente ingenua, anzi ...
Quello che non mi è ancora chiaro dei tuoi dubbi è: non riesci a comprendere come funziona il principio di induzione o perché esso sia vero?
Nel primo caso è semplice (relativamente ... ): dato per vero (cioè ""funzionante") il principio di induzione e dato per vero di essere riusciti a dimostrare la proprietà oggetto di verifica allora cosa succede "in pratica"?
In pratica succede che la nostra proposizione è vera per il "primo della lista" (di solito il numero $1$ ma non è obbligatorio) perché è vero il passo base; ma allora è vera anche per "il secondo della lista" (per via del passo induttivo) e se è vera per il secondo, è vera per il terzo e così via, all'infinito ...
Nel secondo caso, la questione è un po' più delicata ... io conosco una dimostrazione della validità del principio di induzione che si basa sul "principio del buon ordinamento", dato però come assioma; qui sarebbe utile l'intervento di qualcuno molto più esperto di me ...
Cordialmente, Alex
Quello che non mi è ancora chiaro dei tuoi dubbi è: non riesci a comprendere come funziona il principio di induzione o perché esso sia vero?
Nel primo caso è semplice (relativamente ...
): dato per vero (cioè ""funzionante") il principio di induzione e dato per vero di essere riusciti a dimostrare la proprietà oggetto di verifica allora cosa succede "in pratica"?In pratica succede che la nostra proposizione è vera per il "primo della lista" (di solito il numero $1$ ma non è obbligatorio) perché è vero il passo base; ma allora è vera anche per "il secondo della lista" (per via del passo induttivo) e se è vera per il secondo, è vera per il terzo e così via, all'infinito ...
Nel secondo caso, la questione è un po' più delicata ... io conosco una dimostrazione della validità del principio di induzione che si basa sul "principio del buon ordinamento", dato però come assioma; qui sarebbe utile l'intervento di qualcuno molto più esperto di me ...
Cordialmente, Alex
Applicare il principio di induzione risulta fallace, in quanto il passo induttivo non e' dimostrabile, Questo non esclude che possano esistere una forma $f (n) $ che generi numeri primi all'infinito, ma non sarebbe dimostrabile con il principio di induzione.
Boh! Aspettiamo altri pareri!
Boh! Aspettiamo altri pareri!
"francicko":
Applicare il principio di induzione risulta fallace, in quanto il passo induttivo non e' dimostrabile, ...
Ma ti stai riferendo alla congettura di Eulero? Perché in generale quello che affermi non é vero.
Sì , mi sto riferendo alla congettura di Eulero!
"axpgn":
Nel primo caso è semplice (relativamente ...
E' esattamente quello che volevo chiarire! Alex, ti ringrazio infinitamente per la gentilezza e la disponibilità.
Senza questo dubbio posso proseguire molto più serenamente.
francicko, grazie anche a te per aver preso parte alla discussione.
Tra l'altro ho trovato, credo, il limite a questo argomento nella Congettura di Collatz in cui il principio di induzione è stato verificato fino a \(\displaystyle 5,754 \cdot10^{18} \) pare, ma ancora nessuno è certo che non spunterà fuori il caso in grado di confutare il tutto.
Grazie ancora a tutti!
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