Passare da coordinate cartesiane a polari
Ciao, consideriamo l'equazione $z=x^2+y^2$. In un sistema di coordinate cartesiane nello spazio, essa rappresenta una certa superficie. Passiamo ora dal riferimento cartesiano a quello in coordinate polari e consideriamo la stessa superficie. Da quale equazione è descritta?
Secondo me bisogna usare le formule di trasformazione da coordinate cartesiane a polari e sostituirle al posto della x,y,z nella prima equazione. E' giusto?
Grazie!
Secondo me bisogna usare le formule di trasformazione da coordinate cartesiane a polari e sostituirle al posto della x,y,z nella prima equazione. E' giusto?
Grazie!
Risposte
"lisdap":
[...]
Secondo me bisogna usare le formule di trasformazione da coordinate cartesiane a polari e sostituirle al posto della x,y,z nella prima equazione. E' giusto?
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si. prova a farlo.
Ciao, ok, allora, effettuo le sostituzioni $x=rhosinphicostheta$, $y=rhosinphisintheta$, $z=rhocosphi$, ottenendo dunque l'equazione nelle incognite $rho, phi, theta$,
$rhocosphi=rho^2sin^2phi$, che si può riscrivere anche come $cosphi=rhosin^2phi$. Infine, osservando che $phi$, limitato a variare in $[0,pi]$, non può mai assumere i valori agli estremi dell'intervallo (che annullerebbero il suo seno), abbiamo che l'equazione si può scrivere come $rho=cosphi / (sin^2phi)$.
Spero sia corretto!
$rhocosphi=rho^2sin^2phi$, che si può riscrivere anche come $cosphi=rhosin^2phi$. Infine, osservando che $phi$, limitato a variare in $[0,pi]$, non può mai assumere i valori agli estremi dell'intervallo (che annullerebbero il suo seno), abbiamo che l'equazione si può scrivere come $rho=cosphi / (sin^2phi)$.
Spero sia corretto!
"lisdap":
Ciao, ok, allora, effettuo le sostituzioni $x=rhosinphicostheta$, $y=rhosinphisintheta$, $z=rhocosphi$, ottenendo dunque l'equazione nelle incognite $rho, phi, theta$,
$rhocosphi=rho^2sin^2phi$, che si può riscrivere anche come $cosphi=rhosin^2phi$. Infine, osservando che $phi$, limitato a variare in $[0,pi]$, non può mai assumere i valori agli estremi dell'intervallo (che annullerebbero il suo seno), abbiamo che l'equazione si può scrivere come $rho=cosphi / (sin^2phi)$.
Spero sia corretto!
quelle sono le coordinate sferiche, non le coordinate cilindriche che sono le coordinate più "belle" da usare con oggetti a simmetria cilindrica.
la superficie $z=x^2+y^2$ è un paraboloide. ha simmetria cilindrica. quindi meglio usare le coordinate cilindriche in cui la superficie diventa semplicemente... $z= \rho^2$...
ribadisco comunque: tu hai usato le coordinate sferiche. inoltre l'ultimo passaggio in cui dividi per il seno non si può fare proprio perchè $\phi$ varia nell'intervallo CHIUSO $[0,\pi]$ agli estremi del quale il seno si annulla.
la tua ultima scrittura ha quindi senso in un sistema a 3 entrate in cui dici cosa succede quando $\phi$ assume i valori agli estremi dell'intervallo.
io direi che tutto diventa molto più semplice con le coordinate cilindriche, no?
Quindi diventa $rho^2 cos^2theta rho^2 sin^2theta = rho^2$
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